系统的频域分析法-----Chap4_1-4

在第三章讲了傅里叶变换，傅里叶变换说白了是为了帮助我们求解系统的响应。如果通过傅里叶变换，将一个信号分解为很多个正弦信号的和，且有办法能够得到一个系统对任意一个正弦信号的响应的话，那么通过系统对每一个正弦信号的响应，加起来，得到系统对任意信号的响应，第三章就是在讲怎么分解。給一个周期信号怎么分解，给一个非周期信号怎么分解。这样的分解往往要分解无穷多个。分解以后，问题就是怎么求响应了。
第一，把信号分解好，把信号分解成N多个正弦分量的和；
第二，求各个正弦分量通过系统以后的响应；
第三，把各个分量的响应加在一起，就是我整个信号的响应；

通过这样的方法，避免去求卷积积分，不好的地方是，你要做俩次变换，比如说给你个信号，你首先要做信号的分解，做傅里叶正变换，分解了以后，最后你还要把它合起来，要做傅里叶反变换，这两个过程当中会给我们带来一定的计算量，所以从计算量来说的话，可能第三章的方法并不会比第二章时域法好多少，时域法虽然卷积积分看着麻烦，但是好歹我只算一次积分。
但是这里又有一个问题，很多时候，工程应用当中，直接給定激励信号的频谱，且只需要得到响应信号的频谱，这时就可以不用或减少用变换。频域分析法只能求解系统的稳态响应或零状态响应。因为假设的每一个子信号，sin或cos是从无穷远的过去开始，一直到无穷远的将来，所以横跨整个时间轴，所以只能求零状态。



周期信号从无穷远的过去到无穷远的将来都存在，即使在加上这个信号有一点初始状态，但是随着时间的偏移，这些初始状态往往都全部消失了，那么这个时候你要求的话，系统当中只存在稳态响应分量。
第二章一个例题进行讲解的时候对结果进行响应分类。（第一种分法：零输入和零状态；第二种分法：根据数学里微分方程的解法，分为特解和通解，或者自然响应和受迫响应；第三种分法：是根据时间趋向于无穷大时，信号的表现，分为瞬态和稳态，瞬态指一段时间存在，很快就消失的，稳态是指一直是存在的，在我们这个地方，如果激励的信号一直存在的话，那么响应里面可能原来是也有瞬态，也有稳态，但是随着时间的增长，瞬态肯定没用了，因为无穷远的过去开始的事情，瞬态如果有的话肯定没有了，所以只剩下稳态响应。而且如果把他分为零状态和零输入的话，以后我们会讲到，如果是一个稳定系统，那么他的零输入响应，一般来说，都是属于瞬态响应的，所以零输入响应的部分随着时间的增长，对你的影响不复存在了，只需要考虑零状态响应就行了）

对于一个电系统，一个电阻和一个电容串联，加一个激励信号，然后求电容上的电压随时间变化的情况。
假设e(t)=cos(t)+2cos(2t)+1,一般分解是无穷项，但是这里我们假设分解两项。
现在分别求系统对三个分量的响应，即要看这个电路对各个频率的正弦信号激励下的影响，也就是说求解下这个电路的正弦稳态响应。
电阻1Ω，电容1/（jw）。

那么不同频率下的各个响应H(jw)可以得到：

正弦稳态分析，把激励信号和H(jw)相应项，幅度乘幅度，相角加相角。
所以R1、R2、R3：

总信号r(t)为：

注意求总的时候，可不能用矢量加法，矢量加法只是在相同频率分量上进行的。


以上是給了电路的电系统如何求解的方法。

但是很多情况不是通过电系统过来的，可能是光学系统，或机械系统，不管怎么说，已经给出系统微分方程了，你怎么求响应呢？
关键是怎么得到H(jw)，得到H(jw)后，计算就和2相类似，我们就可以求出响应了。



上面式字中，E(jw)我们知道（加的激励信号通过傅里叶级数分解，自然知道E(jw)等于多少）；a,b,w我们也是知道的。唯一不知道的就是R(jw)。由此可有猜测，系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号，只不过幅度和相位发生了变化，变化后的幅度和相位，反映在了R(jw)当中，当然如果是数学角度来看，你证明了R(jw)是方程的解，你还要证明只有R(jw)才是方程的解。当然，数学家已经做了这个证明，另外在实际应用当中，绝大多数响应都是唯一的。










对于任何一个物理可实现的系统，它的相频特性都是负的，一个物理可实现系统，信号只能往后移，不可能往前移。

差异是一个用傅里叶级数，对周期信号用的是傅里叶级数展开，变成一个个真正的sin 或cos 分量或e^(jw)分量，而另外一个用的是傅里叶变换，傅里叶变换也可以想象成分解成很多个正弦信号和这样的形式，但是每个正弦分量的大小就是一个无穷小，是你看不到的一个东西，这是这两者的区别。

第二种推导方法：

根据的是傅里叶变换的微分特性推导，俩步就出来了，但是没有反映出信号叠加的特性。

第三种推导方法：

我们为什么喜欢三角函数，是因为对于一个线性系统而言，一个三角函数经过它以后输出的肯定是同样频率的三角函数。只不过幅度和相位会发生变化。如果说，信号与系统这门课程主要讲的是求系统对信号的响应这个角度来说的话，第四章讲到第二节已经完成了此任务,但是这门课程求解系统的响应只是主干，但是还有枝叶，比如什么是滤波器








t0是理想滤波器的相频特性的斜率，为什么强调相频特性是一个过原点的直线，如果是一个过原点的直线的话，过原点的斜率就是系统的冲激响应要往右边延迟的时间。

只有因果系统我们才能做出来







到截止频率点上幅频特性下降到负3dB或者下降到最大值的0.707倍。这里按照3dB点来定义，是因为正弦波如果信号的幅度下降到根号二分之一的话，信号的功率降低二分之一，所以是根据信号功率的衰减性程度来定义这个分界线的