高等数学（第七版）同济大学 习题8-1 个人解答

高等数学（第七版）同济大学 习题8-1

 

$\begin{array}{rlr}& 1.设u=a-b+2c,v=-a+3b-c.试用a、b、c表示2u-3v.& \end{array}$

解：

   2 u − 3 v = 2 × ( a − b + 2 c ) − 3 × ( − a + 3 b − c ) = 2 a − 2 b + 4 c + 3 a − 9 b + 3 c = 5 a − 11 b + 7 c   2u−3v=2×(a−b+2c)−3×(−a+3b−c)=2a−2b+4c+3a−9b+3c=5a−11b+7c

​  2u−3v=2×(a−b+2c)−3×(−a+3b−c)=2a−2b+4c+3a−9b+3c=5a−11b+7c​​

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$\begin{array}{rlr}& 2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.& \end{array}$

解：

  如图 8 − 1 ，设四边形 A B C D 中 A C 与 B D 交于点 M ，已知 A M → = M C → ， D M → = M B → 。   所以 A B → = A M → + M B → = M C → + D M → = D C → . 即 A B → / / D C → 且 ∣ A B → ∣ = ∣ D C → ∣ ，因此四边形 A B C D 是平行四边形 .   如图8−1，设四边形ABCD中AC与BD交于点M，已知→AM=→MC，→DM=→MB。  所以→AB=→AM+→MB=→MC+→DM=→DC.即→AB//→DC且|→AB|=|→DC|，因此四边形ABCD是平行四边形.

​  如图8−1，设四边形ABCD中AC与BD交于点M，已知AM =MC ，DM =MB 。  所以AB =AM +MB =MC +DM =DC .即AB //DC 且∣AB ∣=∣DC ∣，因此四边形ABCD是平行四边形.​​

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$\begin{array}{rlr}& 3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D_1、D_2、D_3、D_4，再把各分点与点A连接.& \\ & & \\ & 试以\overrightarrow{AB}=c、\overrightarrow{BC}=a表示向量\overrightarrow{D_{1}A}、\overrightarrow{D_{2}A}、\overrightarrow{D_{3}A}和\overrightarrow{D_{4}A}.& \end{array}$

解：

  如图 8 − 2 ， B D 1 → = D 1 D 2 → = D 2 D 3 → = D 3 D 4 → = 1 5 a ，   所以    D 1 A → = − ( A B → + B D 1 → ) = − 1 5 a − c ，    D 2 A → = − ( A B → + B D 2 → ) = − 2 5 a − c ，    D 3 A → = − ( A B → + B D 3 → ) = − 3 5 a − c ，    D 4 A → = − ( A B → + B D 4 → ) = − 4 5 a − c .   如图8−2，→BD1=→D1D2=→D2D3=→D3D4=15a，  所以  →D1A=−(→AB+→BD1)=−15a−c，  →D2A=−(→AB+→BD2)=−25a−c，  →D3A=−(→AB+→BD3)=−35a−c，  →D4A=−(→AB+→BD4)=−45a−c.

​  如图8−2，BD1​ ​=D1​D2​ ​=D2​D3​ ​=D3​D4​ ​=51​a，  所以  D1​A ​=−(AB +BD1​ ​)=−51​a−c，  D2​A ​=−(AB +BD2​ ​)=−52​a−c，  D3​A ​=−(AB +BD3​ ​)=−53​a−c，  D4​A ​=−(AB +BD4​ ​)=−54​a−c.​​

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$\begin{array}{rlr}& 4.已知两点M_1(0,1,2)和M_2(1,-1,0).试用坐标表示式表示向量\overrightarrow{M_1{M}_2}及-2\overrightarrow{M_1{M}_2}.& \end{array}$

解：

   M 1 M 2 → = M 2 − M 1 = ( 1 − 0 ,   − 1 − 1 ,   0 − 2 ) = ( 1 ,   − 2 ,   − 2 )    − 2 M 1 M 2 → = ( − 2 × 1 ,   − 2 × − 2 ,   − 2 × − 2 ) = ( − 2 ,   4 ,   4 )   →M1M2=M2−M1=(1−0, −1−1, 0−2)=(1, −2, −2)  −2→M1M2=(−2×1, −2×−2, −2×−2)=(−2, 4, 4)

​  M1​M2​ ​=M2​−M1​=(1−0, −1−1, 0−2)=(1, −2, −2)  −2M1​M2​ ​=(−2×1, −2×−2, −2×−2)=(−2, 4, 4)​​

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$\begin{array}{rlr}& 5.求平行于向量a=(6,7,-6)的单位向量.& \end{array}$

解：

   ∣ a ∣ = 6 2 + 7 2 + ( − 6 ) 2 = 11 ， e a = ± a ∣ a ∣ = ± 1 11 ( 6 ,   7 ,   − 6 )   |a|=√62+72+(−6)2=11，ea=±a|a|=±111(6, 7, −6)

​  ∣a∣=62+72+(−6)2 ​=11，ea​=±∣a∣a​=±111​(6, 7, −6)​​

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$\begin{array}{rlr}& 6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A(1,-2,3)，B(2,3,-4)，C(2,-3,-4)，& \\ & & \\ & D(-2,-3,1).& \end{array}$

解：

   A 在第四卦限， B 在第五卦限， C 在第八卦限， D 在第三卦限   A在第四卦限，B在第五卦限，C在第八卦限，D在第三卦限

​  A在第四卦限，B在第五卦限，C在第八卦限，D在第三卦限​​

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$\begin{array}{rlr}& 7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A(3,4,0)，B(0,4,3)，& \\ & & \\ & C(3,0,0)，D(0,-1,0).& \end{array}$

解：

   x O y 面上的点的坐标 z 为 0 ， y O z 面上的点的坐标 x 为 0 ， x O z 面上的点的坐标 y 为 0 ，    x 轴上的点的坐标 y 和 z 为 0 ， y 轴上的点的坐标 x 和 z 为 0 ， z 轴上的点的坐标 x 和 y 为 0 。    A 点在 x O y 面上， B 点在 y O z 面上， C 点在 x 轴上， D 点在 y 轴上。   xOy面上的点的坐标z为0，yOz面上的点的坐标x为0，xOz面上的点的坐标y为0，  x轴上的点的坐标y和z为0，y轴上的点的坐标x和z为0，z轴上的点的坐标x和y为0。  A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上。

​  xOy面上的点的坐标z为0，yOz面上的点的坐标x为0，xOz面上的点的坐标y为0，  x轴上的点的坐标y和z为0，y轴上的点的坐标x和z为0，z轴上的点的坐标x和y为0。  A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上。​​

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$\begin{array}{rlr}& 8.求点(a,b,c)关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标.& \end{array}$

解：

   ( 1 )  点 ( a ,   b ,   c ) 关于 x O y 面对称的点的坐标为 ( a ,   b ,   − c ) ，关于 y O z 面对称的点的坐标为 ( − a ,   b ,   c ) ，         关于 x O z 面对称的点的坐标为 ( a ,   − b ,   c )    ( 2 )  点 ( a ,   b ,   c ) 关于 x 轴对称的点的坐标为 ( a ,   − b ,   − c ) ，关于 y 轴对称的点的坐标为 ( − a ,   b ,   − c ) ，         关于 z 轴对称的点的坐标为 ( − a ,   − b ,   c )    ( 3 )  点 ( a ,   b ,   c ) 关于原点的对称点的坐标为 ( − a ,   − b ,   − c )   (1) 点(a, b, c)关于xOy面对称的点的坐标为(a, b, −c)，关于yOz面对称的点的坐标为(−a, b, c)，        关于xOz面对称的点的坐标为(a, −b, c)  (2) 点(a, b, c)关于x轴对称的点的坐标为(a, −b, −c)，关于y轴对称的点的坐标为(−a, b, −c)，        关于z轴对称的点的坐标为(−a, −b, c)  (3) 点(a, b, c)关于原点的对称点的坐标为(−a, −b, −c)

​  (1) 点(a, b, c)关于xOy面对称的点的坐标为(a, b, −c)，关于yOz面对称的点的坐标为(−a, b, c)，        关于xOz面对称的点的坐标为(a, −b, c)  (2) 点(a, b, c)关于x轴对称的点的坐标为(a, −b, −c)，关于y轴对称的点的坐标为(−a, b, −c)，        关于z轴对称的点的坐标为(−a, −b, c)  (3) 点(a, b, c)关于原点的对称点的坐标为(−a, −b, −c)​

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$\begin{array}{rlr}& 9.自点P_0(x_0,y_0,z_0)分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标.& \end{array}$

解：

  点 P 0 ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) 在 x O y 面的垂足的坐标为 ( x 0 ,   y 0 ,   0 ) ，在 y O z 面的垂足的坐标为 ( 0 ,   y 0 ,   z 0 ) ，   在 x O z 面的垂足的坐标为 ( x 0 ,   0 ,   z 0 ) .   点 P 0 ( x 0 ,   y 0 ,   z 0 ) 在 x 轴的垂足的坐标为 ( x 0 ,   0 ,   0 ) ，在 y 轴的垂足的坐标为 ( 0 ,   y 0 ,   0 ) ，   在 z 轴的垂足的坐标为 ( 0 ,   0 ,   z 0 )   点P0(x0, y0, z0)在xOy面的垂足的坐标为(x0, y0, 0)，在yOz面的垂足的坐标为(0, y0, z0)，  在xOz面的垂足的坐标为(x0, 0, z0).  点P0(x0, y0, z0)在x轴的垂足的坐标为(x0, 0, 0)，在y轴的垂足的坐标为(0, y0, 0)，  在z轴的垂足的坐标为(0, 0, z0)

​  点P0​(x0​, y0​, z0​)在xOy面的垂足的坐标为(x0​, y0​, 0)，在yOz面的垂足的坐标为(0, y0​, z0​)，  在xOz面的垂足的坐标为(x0​, 0, z0​).  点P0​(x0​, y0​, z0​)在x轴的垂足的坐标为(x0​, 0, 0)，在y轴的垂足的坐标为(0, y0​, 0)，  在z轴的垂足的坐标为(0, 0, z0​)​​

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$\begin{array}{rlr}& 10.过点P_0(x_0,y_0,z_0)分别作平行于z轴的直线和平行于xOy面的平面，问在它们上面的& \\ & & \\ & 点的坐标各有什么特点？& \end{array}$

解：

  平行于 z 轴的直线上的点的坐标 x 0 值和 y 0 值不变， z 0 值变化。   平行于 x O y 面的平面上的点的坐标 z 0 值不变， x 0 值和 y 0 值变化。   平行于z轴的直线上的点的坐标x0值和y0值不变，z0值变化。  平行于xOy面的平面上的点的坐标z0值不变，x0值和y0值变化。

​  平行于z轴的直线上的点的坐标x0​值和y0​值不变，z0​值变化。  平行于xOy面的平面上的点的坐标z0​值不变，x0​值和y0​值变化。​​

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$\begin{array}{rlr}& 11.一边长为a的正方体放置在xOy面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x轴和y轴上，& \\ & & \\ & 求它各顶点的坐标.& \end{array}$

解：

  如图 8 − 5 ，已知 A B = a ，所以 O A = O B = 2 2 a ，各顶点坐标为 A ( 2 2 a ,   0 ,   0 ) ， B ( 0 ,   2 2 a ,   0 ) ，    C ( − 2 2 a ,   0 ,   0 ) ， D ( 0 ,   − 2 2 a ,   0 ) ， E ( 2 2 a ,   0 ,   a ) ， F ( 0 ,   2 2 a ,   a ) ， G ( − 2 2 a ,   0 ,   a ) ，    H ( 0 ,   − 2 2 a ,   a )   如图8−5，已知AB=a，所以OA=OB=√22a，各顶点坐标为A(√22a, 0, 0)，B(0, √22a, 0)，  C(−√22a, 0, 0)，D(0, −√22a, 0)，E(√22a, 0, a)，F(0, √22a, a)，G(−√22a, 0, a)，  H(0, −√22a, a)

​  如图8−5，已知AB=a，所以OA=OB=22 ​​a，各顶点坐标为A(22 ​​a, 0, 0)，B(0, 22 ​​a, 0)，  C(−22 ​​a, 0, 0)，D(0, −22 ​​a, 0)，E(22 ​​a, 0, a)，F(0, 22 ​​a, a)，G(−22 ​​a, 0, a)，  H(0, −22 ​​a, a)​​

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$\begin{array}{rlr}& 12.求点M(4,-3,5)到各坐标轴的距离.& \end{array}$

解：

  点 M 是在第四卦限，到 x 轴的距离为 y 2 + z 2 = ( − 3 ) 2 + 5 2 = 34 ，   到 y 轴的距离为 x 2 + z 2 = 4 2 + 5 2 = 41 ，到 z 轴的距离为 x 2 + y 2 = 4 2 + ( − 3 ) 2 = 5.   点M是在第四卦限，到x轴的距离为√y2+z2=√(−3)2+52=√34，  到y轴的距离为√x2+z2=√42+52=√41，到z轴的距离为√x2+y2=√42+(−3)2=5.

​  点M是在第四卦限，到x轴的距离为y2+z2 ​=(−3)2+52 ​=34 ​，  到y轴的距离为x2+z2 ​=42+52 ​=41 ​，到z轴的距离为x2+y2 ​=42+(−3)2 ​=5.​​

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$\begin{array}{rlr}& 13.在yOz面上，求与三点A(3,1,2)，B(4,-2,-2)，C(0,5,1)等距离的点.& \end{array}$

解：

  设点 P ( 0 ,   y ,   z ) 在 y O z 面上，则 ∣ P A ∣ = 3 2 + ( 1 − y ) 2 + ( 2 − z ) 2 ， ∣ P B ∣ = ( 4 2 + ( − 2 − y ) 2 + ( − 2 − z ) 2 ，    ∣ P C ∣ = 0 2 + ( 5 − y ) 2 + ( 1 − z ) 2 ， ∣ P A ∣ = ∣ P B ∣ = ∣ P C ∣ ，则    { 3 2 + ( 1 − y ) 2 + ( 2 − z ) 2 = ( 4 2 + ( − 2 − y ) 2 + ( − 2 − z ) 2 ( 4 2 + ( − 2 − y ) 2 + ( − 2 − z ) 2 = 0 2 + ( 5 − y ) 2 + ( 1 − z ) 2 ，解得， y = 1 ， z = − 2 ，点 P 的坐标为 ( 0 ,   1 ,   − 2 ) .   设点P(0, y, z)在yOz面上，则|PA|=√32+(1−y)2+(2−z)2，|PB|=√(42+(−2−y)2+(−2−z)2，  |PC|=√02+(5−y)2+(1−z)2，|PA|=|PB|=|PC|，则  {32+(1−y)2+(2−z)2=(42+(−2−y)2+(−2−z)2(42+(−2−y)2+(−2−z)2=02+(5−y)2+(1−z)2，解得，y=1，z=−2，点P的坐标为(0, 1, −2).

​  设点P(0, y, z)在yOz面上，则∣PA∣=32+(1−y)2+(2−z)2 ​，∣PB∣=(42+(−2−y)2+(−2−z)2 ​，  ∣PC∣=02+(5−y)2+(1−z)2 ​，∣PA∣=∣PB∣=∣PC∣，则  ⎩ ⎨ ⎧​32+(1−y)2+(2−z)2=(42+(−2−y)2+(−2−z)2(42+(−2−y)2+(−2−z)2=02+(5−y)2+(1−z)2​，解得，y=1，z=−2，点P的坐标为(0, 1, −2).​​

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$\begin{array}{rlr}& 14.试证明以三点A(4,1,9)，B(10,-1,6)，C(2,4,3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.& \end{array}$

解：

   ∣ A B ∣ = ( 10 − 4 ) 2 + ( − 1 − 1 ) 2 + ( 6 − 9 ) 2 = 7 ， ∣ B C ∣ = ( 2 − 10 ) 2 + ( 4 + 1 ) 2 + ( 3 − 6 ) 2 = 7 2 ，    ∣ A C ∣ = ( 2 − 4 ) 2 + ( 4 − 1 ) 2 + ( 3 − 9 ) 2 = 7 ， ∣ A B ∣ = ∣ A C ∣ ，又因 ∣ A B ∣ 2 + ∣ A C ∣ 2 = ∣ B C ∣ 2 ，   所以该三角形为等腰直角三角形   |AB|=√(10−4)2+(−1−1)2+(6−9)2=7，|BC|=√(2−10)2+(4+1)2+(3−6)2=7√2，  |AC|=√(2−4)2+(4−1)2+(3−9)2=7，|AB|=|AC|，又因|AB|2+|AC|2=|BC|2，  所以该三角形为等腰直角三角形

​  ∣AB∣=(10−4)2+(−1−1)2+(6−9)2 ​=7，∣BC∣=(2−10)2+(4+1)2+(3−6)2 ​=72 ​，  ∣AC∣=(2−4)2+(4−1)2+(3−9)2 ​=7，∣AB∣=∣AC∣，又因∣AB∣2+∣AC∣2=∣BC∣2，  所以该三角形为等腰直角三角形​​

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$\begin{array}{rlr}& 15.设已知两点M_1(4,\sqrt{2},1)和M_2(3,0,2)，计算向量\overrightarrow{M_1{M}_2}的模、方向余弦和方向角.& \end{array}$

解：

   M 1 M 2 → = ( 3 − 4 ,   0 − 2 ,   2 − 1 ) = ( − 1 ,   − 2 ,   1 ) ，模为 ∣ M 1 M 2 → ∣ = ( − 1 ) 2 + ( − 2 ) 2 + 1 2 = 2 ，   方向余弦分别为 c o s   α = − 1 2 ， c o s   β = − 2 2 ， c o s   γ = 1 2 ，方向角分别为 α = 2 3 π ， β = 3 4 π ， γ = 1 3 π .   →M1M2=(3−4, 0−√2, 2−1)=(−1, −√2, 1)，模为|→M1M2|=√(−1)2+(−√2)2+12=2，  方向余弦分别为cos α=−12，cos β=−√22，cos γ=12，方向角分别为α=23π，β=34π，γ=13π.

​  M1​M2​ ​=(3−4, 0−2 ​, 2−1)=(−1, −2 ​, 1)，模为∣M1​M2​ ​∣=(−1)2+(−2 ​)2+12 ​=2，  方向余弦分别为cos α=−21​，cos β=−22 ​​，cos γ=21​，方向角分别为α=32​π，β=43​π，γ=31​π.​​

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$\begin{array}{rlr}& 16.设向量的方向余弦分别满足(1)cos\alpha =0；(2)cos\beta =1；(3)cos\alpha =cos\beta =0，问这些向量与坐标轴& \\ & & \\ & 或坐标面的关系如何？& \end{array}$

解：

   ( 1 )   c o s   α = 0 ，则 α = π 2 ，所以向量与 x 轴垂直，平行 y O z 面    ( 2 )   c o s   β = 1 ，则 β = 0 ，所以向量与 y 轴同向，垂直于 x O z 面    ( 3 )   c o s   α = c o s   β = 0 ，则 α = β = π 2 ，所以向量垂直于 x 轴和 y 轴，与 z 轴平行，垂直于 x O y 面   (1) cos α=0，则α=π2，所以向量与x轴垂直，平行yOz面  (2) cos β=1，则β=0，所以向量与y轴同向，垂直于xOz面  (3) cos α=cos β=0，则α=β=π2，所以向量垂直于x轴和y轴，与z轴平行，垂直于xOy面

​  (1) cos α=0，则α=2π​，所以向量与x轴垂直，平行yOz面  (2) cos β=1，则β=0，所以向量与y轴同向，垂直于xOz面  (3) cos α=cos β=0，则α=β=2π​，所以向量垂直于x轴和y轴，与z轴平行，垂直于xOy面​​

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$\begin{array}{rlr}& 17.设向量r的模是4，它与u轴的夹角是\frac{\pi }{3}，求r在u轴上的投影.& \end{array}$

解：

  设向量 r 与 u 轴的夹角为 φ = π 3 ， c o s   φ = 1 2 ，已知 ∣ r ∣ = 4 ，则 P r j u r = ∣ r ∣ c o s   φ = 2.   设向量r与u轴的夹角为φ=π3，cos φ=12，已知|r|=4，则Prjur=|r|cos φ=2.

​  设向量r与u轴的夹角为φ=3π​，cos φ=21​，已知∣r∣=4，则Prju​r=∣r∣cos φ=2.​​

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$\begin{array}{rlr}& 18.一向量的终点在点B(2,-1,7)，它在x轴、y轴和z轴上的投影依次为4，-4，和7.& \\ & & \\ & 求这向量的起点A的坐标.& \end{array}$

解：

  设点 A 的坐标为 ( x ,   y ,   z ) ，则 A B → = ( 2 − x ,   − 1 − y ,   7 − z ) ，根据题意可知 2 − x = 4 ， − 1 − y = − 4 ， 7 − z = 7 ，   则 x = − 2 ， y = 3 ， z = 0 ，所以点 A 的坐标为 ( − 2 ,   3 ,   0 ) .   设点A的坐标为(x, y, z)，则→AB=(2−x, −1−y, 7−z)，根据题意可知2−x=4，−1−y=−4，7−z=7，  则x=−2，y=3，z=0，所以点A的坐标为(−2, 3, 0).

​  设点A的坐标为(x, y, z)，则AB =(2−x, −1−y, 7−z)，根据题意可知2−x=4，−1−y=−4，7−z=7，  则x=−2，y=3，z=0，所以点A的坐标为(−2, 3, 0).​​

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$\begin{array}{rlr}& 19.设m=3i+5j+8k，n=2i-4j-7k和p=5i+j-4k，求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影& \\ & & \\ & 及在y轴上的分向量.& \end{array}$

解：

  向量 a = 4 m + 3 n − p = 4 × ( 3 i + 5 j + 8 k ) + 3 × ( 2 i − 4 j − 7 k ) − ( 5 i + j − 4 k ) =    12 i + 20 j + 32 k + 6 i − 12 j − 21 k − 5 i − j + 4 k = 13 i + 7 j + 15 k ， a 在 x 轴上的投影为 13 ，在 y 轴上的分向量为 7 j .   向量a=4m+3n−p=4×(3i+5j+8k)+3×(2i−4j−7k)−(5i+j−4k)=  12i+20j+32k+6i−12j−21k−5i−j+4k=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.

​  向量a=4m+3n−p=4×(3i+5j+8k)+3×(2i−4j−7k)−(5i+j−4k)=  12i+20j+32k+6i−12j−21k−5i−j+4k=13i+7j+15k，a在x轴上的投影为13，在y轴上的分向量为7j.​​