【PAT甲级】1110 Complete Binary Tree

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🔑中文翻译：完全二叉树
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1110 Complete Binary Tree

Given a tree, you are supposed to tell if it is a complete binary tree.

Input Specification:

Each input file contains one test case. For each case, the first line gives a positive integer N (≤20) which is the total number of nodes in the tree – and hence the nodes are numbered from 0 to N−1. Then N lines follow, each corresponds to a node, and gives the indices of the left and right children of the node. If the child does not exist, a - will be put at the position. Any pair of children are separated by a space.

Output Specification:

For each case, print in one line YES and the index of the last node if the tree is a complete binary tree, or NO and the index of the root if not. There must be exactly one space separating the word and the number.

Sample Input 1:

9
7 8
- -
- -
- -
0 1
2 3
4 5
- -
- -

Sample Output 1:

YES 8

Sample Input 2:

8
- -
4 5
0 6
- -
2 3
- 7
- -
- -

Sample Output 2:

NO 1

题意

给定一棵二叉树，第一行给定 $N$ ，表示有 $N$ 个结点，且结点编号为 $0\sim N-1$ 。

接下来 $N$ 行输入 $0\sim N-1$ 个结点的左右孩子编号，空结点用 - 表示。

判断该二叉树是否是完全二叉树，如果是则输出 YES 和完全二叉树的最后一个结点编号，否则输出 NO 和该树的根结点编号。

思路

1. 我们可以利用完全二叉树的性质，用一个一维数组来存储，如果当前结点第下标为 k （假设下标从 1 开始），则满足以下条件：
   • 该结点的左孩子下标为 k * 2
   • 该结点的右孩子下标为 k * 2 + 1
2. 所以如果一个二叉树是完全二叉树的话，将它所有结点按上述方式存储到一维数组中是可以刚好填满 $1\sim N$（下标从 $1$ 开始）个位置的。相反如果不是完全二叉树，则 $1\sim N$ 个位置中会有空余，也就是说最后一个结点的位置会大于 $N$ 。故我们只用判断最后一个结点的位置是否为 $N$ 即可，如果是 $N$ 则说明是完全二叉树。
3. 最后输出判断结果，注意如果是完全二叉树还需要输出最后一个结点的编号，否则输出该树的根结点编号。

我们拿题目的第一个样例举例，可以得到下面这颗完全二叉树：

其在一维数组中的存储情况为：

代码

#include
using namespace std;

const int N = 25;
int l[N], r[N], has_parent[N];
int n, max_k, max_id;

void dfs(int u, int k)
{
    if (u == -1)   return;

    //如果当前遍历到的下标k更大，则进行更新
    if (k > max_k)
    {
        max_k = k;    //找到最后一个结点在一维数组中的下标
        max_id = u;   //找到最后一个结点的编号
    }

    dfs(l[u], k * 2);
    dfs(r[u], k * 2 + 1);
}

int main()
{
    //初始化
    cin >> n;
    memset(l, -1, sizeof l);
    memset(r, -1, sizeof r);

    //输入结点信息
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        string a, b;
        cin >> a >> b;
        if (a != "-")  l[i] = stoi(a), has_parent[l[i]] = true;
        if (b != "-")  r[i] = stoi(b), has_parent[r[i]] = true;
    }

    //找到根结点下标
    int root = 0;
    while (has_parent[root]) root++;

    dfs(root, 1);

    if (max_k == n)    printf("YES %d\n", max_id);
    else    printf("NO %d\n", root);

    return 0;
}