第2章矩阵

1.矩阵的概念

由 m*n 个数排成的一个m行n列的数表，称为一个m×n矩阵，其中的每个数称为这个矩阵的元素，位于第i行第j列交叉点的元素，称为矩阵的（i，j）元素（i=1,2,3,…，m
；j=1,2,3,…n）。
通常用大写的黑体项文字母A，B，C 等表示矩阵，一个m×n矩阵A可以记作 $A_{m*n}$ 如果A的（i，j）元素为 $a_{ij}(i=1,2,3,.....m;j=1,2,3,....n)$ ，则可将A表为
$\left|$

\begin{matrix} a_{11}, a_{12}, a_{13} . . . . . . a_{1 n} \\ a_{21}, a_{22}, a_{23} . . . . . . a_{2 n} \\ . . . \\ . . . \\ . . . \\ a_{n 1}, a_{n 2}, a_{n 3} . . . . . a_{n n} \end{matrix}

\right|

A = ∣ ∣ a_{11}, a_{12}, a_{13} ...... a_{1 n} a_{21}, a_{22}, a_{23} ...... a_{2 n} ... ... ... a_{n 1}, a_{n 2}, a_{n 3} ..... a_{nn} ∣ ∣

也可以简记

A=(a_{ij})_{m*n}

.

当矩阵A的元素都是实数时，称A为实矩阵。

当矩阵A的行数与列数n相等时，称A为n阶矩阵或n阶方阵，显然，一阶矩阵就是一个数。
元数全数为0的m*n 的矩阵称为零矩阵。记作 $O_{m*n}$ 或明确行，列数的情况下，记作O
2几种待殊的方阵
对角矩阵
$\left|$

\begin{matrix} a_{11}, 0 . . . 0 \\ 0, a_{22} . . . 0 \\ 0, 0, a_{33} \. . . 0 \\ . . . \\ 0, 0, 0, 0, 0, a_{n n} \end{matrix}

\right|

∣ ∣ a_{11}, 0 ... 0 0, a_{22} ... 0 0, 0, a_{33} \dot{˙} . 0 ... 0, 0, 0, 0, 0, a_{nn} ∣ ∣

数量矩阵

\begin{matrix} 1, 0, . . . . . . . . . . . ., 0 \\ 0, 1, . . . . . . . . . . . . ., 0 \\ 0, 0, 1, . . . . . . \. . . \. . ., 0 \\ 0, 0, 0, 1, \. . . . . . \. . ., 0 \\ . . . \\ . . . \\ . . . \\ 0, 0, 0, 0, . . . . . . . . . 1 \end{matrix}

上三角矩阵：

\begin{matrix} a_{11}, a_{12}, a_{13} . . ., a_{1 n} \\ 0, a 22, a_{23}, . . . . a_{2 n} \\ 0, 0, a_{33}, a_{34} . . . a_{3 n} \\ . . . \\ . . . \\ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, a_{n n} \end{matrix}

下三角矩阵：

\begin{matrix} a_{11}, 0, 0.0, 0, . . .0 \\ a_{21}, a_{22}, 0, 0, 0, 0 \\ a_{31}, a_{32}, a_{33}, 0, 0 \\ . . \\ a_{n 1}, a_{n 2}, . . . . . a_{n n} \end{matrix}

3对称矩阵与反对称矩阵
如果矩阵

A=（a_{ij}）_{n×n}

的元素满足

a_{ij}=a_{i,j}(i,j=1,2,3,...n)

则称A为n阶对称矩阵。
如查矩阵

A=(a_{ij})n×n

的元素满足

a_{ij}=-a_{ji}(i,j=1,2,....n)

,则称A为n 阶反对称矩阵，反对称矩阵的主对线上元素

a_{ii}=0(i=1,2,3....n)

.

2.2矩阵的运算

1.矩阵相等

设矩阵 $A=(a_{ij})m×n,B=(b_{ij})_{s*r}$ ,如果满足m=s,n=r则称A与B为同型矩阵，进一步，若A与B的元素满足 $a_{ij}=b_{ij}(i=1,2,3....,m)j=1,2,3....,n$ ,则称A与B相等，记作 A=B

2.矩阵的加法

设矩阵 $A=(a_{ij})m*n,B=(b_{ij})_{m×n}$ ,令

$C =(a_{ij}+b_{ij})m×n$

则称矩陈C为矩阵A与B的和，记作C=A+B。
矩阵的加法满足以下4条运算法则：
（1）交换律：A+B=B+A
（2）结合律：（A+B）+C = A+(B+C)
（3）A+O=A
（4）A+(-A)=O
其中，当 $A=(a_{ij})m×n$ 时， $A=-(a_{ij})_m×n$ 称为A的负矩阵

3数与矩阵的乘法

设矩阵 $A=(a_{ij})_m*n$ ,有数k乘以A的每一个无素所行到的矩阵
$\left|$

\begin{matrix} k a_{11}, k a_{12}, . . . . k a_{1 n} \\ k a_{21}, k a_{22}, . . . . k a_{2 n} \\ . . . \\ k a_{n 1}, k a_{n 2}, . . . . k a_{n n} \end{matrix}

\right|

∣ ∣ k a_{11}, k a_{12}, .... k a_{1 n} k a_{21}, k a_{22}, .... k a_{2 n} . . . k a_{n 1}, k a_{n 2}, .... k a_{nn} ∣ ∣

称为数k与矩阵A乘积（简称为矩阵的数乘），记作kA=(ka_{ij})m×n,
矩阵的数乘满足以下运算法则
（1）k(A+B)=kA+kB
（2） (k+l)A=kA+lA
（3）k(lA)=(kl)A
其中，A,B为m×n矩阵，k,l为常数

4矩阵的乘法

设矩阵 $A=(a_{ij})_{m×n},B=(b_{ij})_{s*n}$ 则矩阵A与B的乘积矩阵 $C=(c_{ij})_{m*s}$ 其中
$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+a_{i3}b_{3j}+......+a_{is}b_{kj}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}$
i=1,2,…m,j=1,2,3…n 记作C=AB。
在作矩阵乘法时需要注意以下3点

（1）只有左边矩阵A的列数等于右边矩阵B的行数时，乘积AB才有意义。

（2）上式表明：乘积矩阵 $C=(c_{ij})_{m*n}$ 第i行第j列元素 $c_{ij}$ ，等于矩阵A的第1行元素 $a_{i1},a_{i2},a_{i3},,,,,,a_{in}$ 与矩阵B第j列元素 $b_{j1},b_{j2},b_{j3}.....b_{jn}$ 的乘积之和。

（3）乘积知阵C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。

矩阵的乘法和数乘満足以下运算法则：
$A(BC)\\ (2)左分配律：A(B+C)=AB+AC\\ (3)右分配律：(B+C)D= BD+CD\\ (4)k(AB) = (kA)B=A(kB),k为常数。\\$
5矩阵的转置
将矩阵 $A=(a_{ij})_{m*n}的行与列互换,得到的n*m矩阵，称为A的转置矩阵，简称A的转置，记作A^T$

当A为n阶对称矩阵（即 $a_{ij}=a_{ji};i,j=1,2,3,4,.....,n$ ）时，有 $A^T=A$ ;
当A为nb阶反对称矩阵 $即a_{ij}=-a_{ji};i,j=1,2,3,4,.....n)时，有A_{T}=-A$

矩阵的转置满足以下运算法则：

(1) $A^{t})^T=A$

(2) $A+B)^T=A^T+B^T$

(3) $kA)^T=kA^T$

(4) $AB)^T=B^T+A^T$

其中，矩阵A，B可进行有关运算，k为常数。

2.3矩阵的分块

1分块矩阵的概念

为了便于分析和计算，常常把所讨论的矩阵看作是由一些小矩阵组成的。这些由矩阵A的连续若干行，若干列组成的小矩阵，称为A的子矩阵或子块，原矩阵分块后，就称为分块矩阵。

2,分块矩阵的运算

分块矩阵运算时，可以把子矩阵作元素看待。直接运用矩阵运算的有关法则，但要注意以下几个问题：

(1)分块矩阵作加法时，必须使对应相加的子矩阵具有相同的行数和列数，即相加的矩阵的分块方式应完全相同，用数k与分块矩阵相乘时，k应与每个子矩阵相乘。

(2)利用分块矩阵计算矩阵 $A_{m*s}与B_{s*m}$ 的乘积AB时，应使左矩阵A的列的分块方块方式与右矩阵B的行分块方式相同，还要注意的是，相乘时，A的各子矩阵分别左乘B对应的子矩阵，并且，乘积矩阵AB行的分块方式与A相同，列分块方式为B相同。

(3)分块矩阵转置时，不但要将行列互换，而且行列互换后的各子矩阵都应转置。

(4)两类特殊的分块矩阵。

分块对角矩阵（或准对角矩阵）
形如
$\left|$
$\begin{matrix} A_{1}, O, O, . . . . . O \\ O, A_{2}, O, . . . . ., O \\ O, O, A_{3}, . . . . ., O \\ . . . . \\ . . . \\ . . . \\ O, O, . . . . . . . . . . ., A_{s} \end{matrix}$ \right| $∣ ∣ A_{1}, O, O, ..... O O, A_{2}, O, ....., O O, O, A_{3}, ....., O .... ... ... O, O, ..........., A_{s} ∣ ∣$
其中， $A_{1},A_{2},A_{3},......A_{s}$ 均为方阵，且其余子矩阵均为矩阵，称为分块对角矩阵或准对角矩阵。
分块上（下）三角形矩阵。
形如
$\left|$
$\begin{matrix} A_{11}, A_{12}, . . ., A_{1 s} \\ O, A_{22}, . . . ., A_{2 s} \\ . . . . \\ . . . . \\ . . . . \\ O, O, . . ., A_{s s} \end{matrix}$ \right| $∣ ∣ A_{11}, A_{12}, ..., A_{1 s} O, A_{22}, ...., A_{2 s} . . . . . . . . . . . . O, O, ..., A_{ss} ∣ ∣$
其中 $A_{11},A_{22},....,A_{ss}$ 均为方阵，称为分块上三角形矩阵。
其行列式值为 $A_{11}|*|A_{22}|*......|A_{ss}|$
而形如：
$\begin{matrix} A_{11}, O, . . . ., O \\ A_{21}, A_{22}, . . . ., O \\ . . . \\ . . . \\ . . . \\ A_{s 1}, A_{s 2}, . . . ., A_{s s} \end{matrix}$

其中 $A_{11},A_{22},.....,A_{ss}$ 均为方阵的分块矩阵，称为分块下三角形矩阵。
其行列式的值为 $A_{11}|*|A_{22}|*....*|A_{ss}|$ .

2.4可逆矩阵

1.可逆矩阵的定义
设A为n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得有

$A B = B A = E$

则称A为可逆矩阵，记 $A^{-1}=B$

2伴随矩阵的定义
设 $A=(a_{ij})_{n*n}(n\eqslantgtr 2)$ , $A_{ij}$ 为A的元素 $a_{ij}$ 的代数余子式（i,j=1,2,3…n.）,以A第一行的元素代数余子式 $A_{11},A_{12},...A_{1n}为第1列$ ，

第二行元素的代数余子式 $A_{21},A_{22},....,A_{2n}$ 为第二列，
…
第n行元素代数余子式 $A_{n1},A_{n2},A_{nn}$ 为第n列，构成的n阶矩阵
$称A的伴随矩阵，记作A^{*}$
$\left|$

\begin{matrix} A_{11}, A 21, . . . ., A_{n 1} \\ A_{12}, A_{22}, . . . ., A_{n 2} \\ . . . \\ A_{1 n}, A_{2 n}, A_{3 n} \end{matrix}

\right|

∣ ∣ A_{11}, A 21, ...., A_{n 1} A_{12}, A_{22}, ...., A_{n 2} . . . A_{1 n}, A_{2 n}, A_{3 n} ∣ ∣

一般地，对于二阶 $A=\tbinom{a_{11},a_{12}}{a_{21},a_{22}}$

其伴随矩阵 $A^*=\tbinom{a_{22},-a{12}}{-a_{21},a_{11}}$

3.矩阵可逆的充分必要条件
矩阵 $A=(a_{ij})_{n*n}$ 可逆的充分必要条件是 $|A|\neg 0.并且当A可逆时$
$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$

4.可逆矩阵的性质

(1)如果A,B均为n阶可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且 $AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ .

(2)如果矩阵A可逆，则其转置矩阵 $A^{T}$ 也可逆，并且 $A^{T})^{1}=(A^{-1})^T$

(3)如果矩阵A可逆，则对任意非零常数k，kA 也可逆，并且 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$

(4)如果矩阵A可逆，则 $|A_1|=\frac{1}{|A|}$

2.5矩阵的初等变换和初等矩阵

1矩阵的初等变换的定义
设矩阵 $A=(a_{ij})_{m*n}$ 则将以下3种变换：

变换A的某两行（列）
用一个非零数k乘以A的某一行（列）
将A某一行（列）的k倍加另一行（列）
称为矩阵A的初等行（变换），矩阵的初等行，列变换统称为矩阵的初等变换。

2初等矩阵的定义和性质
由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

将n阶单位矩阵E经过一次初等变换得到的3类初等矩阵依次记作

$P (i, j), P (i (k)) 和 P (i (k), j)$

初等矩阵有以下性质：

（1）初等矩阵的转置矩阵仍为初等矩阵

（2）初等矩阵为可逆矩阵，并且逆矩阵仍为初等矩阵

设矩阵 $A=(a_{ij})_{m*n}$ 则

(1)对A做一次第i种初等行变换，相当于用一个m阶的第i类初等矩阵左乘A

(2)对A做一次第i种初等列变换，相当于用一个n阶的第i类初等矩阵右乘A

i = 1,2,3

3矩阵的等价标准形

如果矩阵A经过初等变换化为矩阵B，则称A与B等价。

任意矩阵A都可以经过初等变换与一个形如

$\tbinom{E_{r},O}{O,O}$

的分块矩阵等价，这个矩阵称为矩阵A的等价标准形，记作 $\widetilde{A}$
并且 $\widetilde{A}$ 唯一，与所做的初等变换无关。

4矩阵等价的充分必要条件

（1）两个m*n矩阵A与B等价的充分必要条件是A与B有相同的等价标准形。

（2）对任意m×n矩阵A，必存在m阶初等矩阵 $P_{1},P_{2},...P_{s}$ 和n阶初等矩阵 $Q_{1},Q_{2},....Q_{t}$ 使得

$P_{s}...P_{3}P_{2}P_{1}AQ_{1}Q_{2}....Q_{t}=\widetilde{A}$

（3）对任意m*n矩阵A，必存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使得
$PAQ=\widetilde{A}$

（4）n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A的等价标准形 $\widetilde{A}=E$

（5）n阶矩阵A可逆的充分必要条件是A可以表为有限个初等矩阵的乘积。

5求逆矩阵的初等变换法
将A与E并排放在一起并排放在一起，组成一个n*2n的分块矩阵（A，E），对（A，E）作一系列初等行变换，将其左半部分的A化为单位矩阵E，这时右半部分E就化为 $A^{-1}$ ,即
$初等行变换\\(A,E)\rightarrow ........(E,A^{-1})$
6用初等行变换法求解形如AX=B的矩阵等式。

用初等行变换把分块矩阵(A,B)化成 $E,A^{-1}B)$ 即
$初等行变换\\(A,B)\rightarrow.....\rightarrow(E,A^{-1}B)$

2.6矩阵的秩

(1)设矩阵
$A=\left|$

\begin{matrix} a_{11}, a_{12}, . . ., a_{1 n} \\ a_{21}, a_{22}, . . ., a_{2 n} \\ . . . \\ . . . \\ . . . \\ a_{m 1}, a_{m 2}, . . ., a_{m n} \end{matrix}

\right|

A = ∣ ∣ a_{11}, a_{12}, ..., a_{1 n} a_{21}, a_{22}, ..., a_{2 n} ... ... ... a_{m 1}, a_{m 2}, ..., a_{mn} ∣ ∣

从A中任取k行k列，由k行k列交叉点上的元素按原来的相对位置组成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式。

(2)如果m×n矩阵
$A=\left|$

\begin{matrix} a_{11}, a_{12}, . . ., a_{1 n} \\ a_{21}, a_{22}, . . ., a_{2 n} \\ . . . \\ . . . \\ . . . \\ a_{m 1}, a_{m 2}, . . ., a_{m n} \end{matrix}

\right|

A = ∣ ∣ a_{11}, a_{12}, ..., a_{1 n} a_{21}, a_{22}, ..., a_{2 n} ... ... ... a_{m 1}, a_{m 2}, ..., a_{mn} ∣ ∣

存在一个k阶子式不为0，并且所有的k+1阶子式（如果有的话）全为0,则称A的秩为k，记作r(A)=k.

显然， $r(A)\eqslantless min(m,n)$

阶梯形矩阵具有以上一个特点：

元素全为0的行（如果有的话），位于矩阵的最下面。
自上而下的各行中，第行从左边起的第1个非零元素（称这个元素为主元），其左边0的个数，随着行数的增大而增加。
任意一个m×n矩阵，均可经过一系列初等行变换化为一个m×n阶梯形矩阵。
矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。

2 可逆矩阵的性质

对任意m*n矩阵A，如果P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，则r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A).
n阶矩阵A可逆的充分必要条件是r(A)=n。
n阶矩阵A不可逆（或|A|=0）的充分必要条件是r(A)
两个m×n矩阵A与B等价的充分必要条件是A与B有相同的秩。

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第2章 矩阵

第2章 矩阵

1.矩阵的概念

2.2矩阵的运算

1.矩阵相等

2.矩阵的加法

3数与矩阵的乘法

4矩阵的乘法

2.3矩阵的分块

2.4可逆矩阵

2.5矩阵的初等变换和初等矩阵

2.6矩阵的秩

第2章矩阵

第2章矩阵