通信原理学习笔记6-2：数字解调——抽样和符号同步

采样

根据6-1的推导：在无ISI时，任意位置$n$上的一个符号$I_n$，经过AWGN信道、匹配滤波器、采样后，得到符号$Y_n$$$Y_n=I_n+n_n$$

• 其中，$n_n$为离散高斯白噪声，原因：
  高斯白噪声$n(t)$经过匹配滤波器$g(T-t)$，得到带限高斯白噪声$n_B(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }n(\tau )g[t-(T-\tau )]\mathrm{d}\tau$
  带限高斯白噪声$n_B(t)$在$T+n{T}_s$时刻采样得到离散高斯白噪声$n_n$（自相关函数满足$R_{nn}[n]=\frac{N_0}{2}\delta [n]$，故噪声方差/功率谱密度$N_0/2$）

实际的解调链路（带有符号同步）

比上面的基础链路更加详细的解调原理框图如下

其中主要是增加了载波恢复和符号同步两个模块

实现中的问题：载波恢复和符号同步

实际中应该考虑信道延迟的问题
发射的射频信号 s R F ( t ) = R e { s ( t ) e j 2 π f c t } s_{RF}(t)=Re\{s(t)e^{j2\pi f_ct}\} sRF​(t)=Re{s(t)ej2πfc​t}
经过了信道延迟$\tau$后，接收到的射频信号 r R F ( t ) = s R F ( t − τ ) + n R F ( t ) = R e { s ( t − τ ) e j 2 π f c ( t − τ ) + n ( t ) e j 2 π f c t } r_{RF}(t)=s_{RF}(t-\tau)+n_{RF}(t)\\=Re\{s(t-\tau)e^{j2\pi f_c(t-\tau)}+n(t)e^{j2\pi f_ct}\} rRF​(t)=sRF​(t−τ)+nRF​(t)=Re{s(t−τ)ej2πfc​(t−τ)+n(t)ej2πfc​t}提取其中的高频载波项 r R F ( t ) = R e { [ s ( t − τ ) + n ( t ) e j 2 π f c τ ] e j 2 π f c ( t − τ ) } = R e { [ s ( t − τ ) + n ( t ) e − j ϕ ] e j ( 2 π f c t + ϕ ) } , 其 中 ϕ = − 2 π f c τ r_{RF}(t)=Re\{[s(t-\tau)+n(t)e^{j2\pi f_c\tau}]e^{j2\pi f_c(t-\tau)}\}\\=Re\{[s(t-\tau)+n(t)e^{-j\phi}]e^{j(2\pi f_ct+\phi)}\},其中\phi=-2\pi f_c \tau rRF​(t)=Re{[s(t−τ)+n(t)ej2πfc​τ]ej2πfc​(t−τ)}=Re{[s(t−τ)+n(t)e−jϕ]ej(2πfc​t+ϕ)},其中ϕ=−2πfc​τ

也就是说，信道延迟$\tau$的影响有两方面：

• 一方面要求下变频时，接收端的高频载波需要对准相位$\varphi$；（只需改变相位，频率不变）
  这实际上就是载波恢复问题，之前在模拟系统中，已经讨论过，载波恢复由平方环和Costas环等实现
• 另一方面，恢复后的基带信号存在时延$\tau$，需要相应的改变抽样判决时刻为$n{T}_s+\tau$
  我们需要估计信道的延迟$\tau$（未知），并且在$n{T}_s+\tau$时刻抽样判决，这就是符号同步问题。下面讨论符号同步的具体实现方

注意：
虽然上面说过$\varphi =-2\pi f_c\tau$，但是$\varphi$和$\tau$在实际中知道一个不能求另一个，是两个不同的参数，“载波恢复”和“符号同步”两个步骤不能合二为一
原因：
基带信号载波相对而言频率低，因此对$\varphi$的精度要求远高于时延$\tau$，知道$\tau$也无法推出$\varphi$；
另外，由于发射机和接收机的振荡器都存在频率漂移，振荡频率$f_c$无法做到一致，即使获得了高精度的$\tau$，带入$\varphi =-2\pi f_c\tau$求$\varphi$也没有任何意义
综上所述，“载波恢复”的步骤必须独立进行，它和符号同步是两个不同的功能

符号同步：判决反馈的符号同步方法

由上，载波恢复后的基带信号带有时延：$r(t)=s(t-\tau )+n(t)e^{-j\varphi }$,其中$$s(t-\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{I}_{n}g\left(t-n{T}_s-\tau \right)$$

我们希望估计出$\tau$，并在$n{T}_s+\tau$时刻抽样判决

思路是：不在意如何得到$\tau$，而是假设已经进行了最佳的符号同步，并从统计角度推导此时的约束

复习：
对于模型 Y = H { s ( X ) } + n \boldsymbol{Y}=H\{\boldsymbol{s}(\boldsymbol{X})\}+\boldsymbol{n} Y=H{s(X)}+n，当噪声$\mathbf{n}$为高斯分布时，最大似然准则ML等价于最小二乘准则LS
也就是说，条件概率 p Y ∣ X ( Y ∣ X ) = ( 1 2 π σ ) N e − ∣ Y − H { s ( X ) } ∣ 2 / 2 σ 2 p_{\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X}}(\boldsymbol{Y} \mid \boldsymbol{X})=\left(\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}\right)^{N} \mathrm{e}^{-|\boldsymbol{Y}-H\{s(\boldsymbol{X})\}|^{2} / 2 \sigma^{2}} pY∣X​(Y∣X)=(2π ​σ1​)Ne−∣Y−H{s(X)}∣2/2σ2最大，
等价于似然函数 Λ ( X ) = exp ⁡ { − ∣ Y − H { s ( X ) } ∣ 2 / 2 σ 2 } \Lambda(\boldsymbol{X})=\exp \left\{-|\boldsymbol{Y}-H\{s(\boldsymbol{X})\}|^{2} / 2 \sigma^{2}\right\} Λ(X)=exp{−∣Y−H{s(X)}∣2/2σ2}最大，
也等价于损失函数 L ( X ) = ∣ Y − H { s ( X ) } ∣ 2 L(\boldsymbol{X})=|\boldsymbol{Y}-H\{s(\boldsymbol{X})\}|^{2} L(X)=∣Y−H{s(X)}∣2最小，即最小二乘准则

对于这里的模型$r(t)=s(t-\tau )+n(t)e^{-j\varphi }$，
最大似然准则，要使似然函数$\Lambda (\tau )=\exp \left\{-\frac{1}{N_0}{\int }_{T_0}|r(t)-s(t-\tau ){|}^2\mathrm{d}t\right\}$最大
在高斯噪声下，等价为最小二乘准则，要使损失函数$L(\tau )={\int }_{T_0}|r(t)-s(t-\tau ){|}^2\mathrm{d}t$最小
展开损失函数得到 L ( τ ) = ∫ T 0 [ r ( t ) − s ( t − τ ) ] [ r ∗ ( t ) − s ∗ ( t − τ ) ] d t = ∫ T 0 ∣ r ( t ) ∣ 2 + ∣ s ( t − τ ) ∣ 2 − [ r ( t ) s ∗ ( t − τ ) + r ∗ ( t ) s ( t − τ ) ] d t = ∫ T 0 ∣ r ( t ) ∣ 2 + ∣ s ( t − τ ) ∣ 2 − ℜ [ r ( t ) ] ℜ [ s ( t − τ ) ] − ℑ [ r ( t ) ] ℑ [ s ( t − τ ) ] d t

L(τ)=∫T0[r(t)−s(t−τ)][r∗(t)−s∗(t−τ)]dt=∫T0|r(t)|2+|s(t−τ)|2−[r(t)s∗(t−τ)+r∗(t)s(t−τ)]dt=∫T0|r(t)|2+|s(t−τ)|2−ℜ[r(t)]ℜ[s(t−τ)]−ℑ[r(t)]ℑ[s(t−τ)]dt" role="presentation">L(τ)===∫T0[r(t)−s(t−τ)][r∗(t)−s∗(t−τ)]dt∫T0|r(t)|2+|s(t−τ)|2−[r(t)s∗(t−τ)+r∗(t)s(t−τ)]dt∫T0|r(t)|2+|s(t−τ)|2−R[r(t)]R[s(t−τ)]−I[r(t)]I[s(t−τ)]dt$$\begin{array}{rl}L(\tau )=& {\int }_{T_0}[r(t)-s(t-\tau )]\left[r^{\ast }(t)-s^{\ast }(t-\tau )\right]\mathrm{d}t\\ =& {\int }_{T_0}|r(t){|}^2+|s(t-\tau ){|}^2-\left[r(t)s^{\ast }(t-\tau )+r^{\ast }(t)s(t-\tau )\right]\mathrm{d}t\\ =& {\int }_{T_0}|r(t){|}^2+|s(t-\tau ){|}^2-\mathrm{\Re }[r(t)]\mathrm{\Re }[s(t-\tau )]-\mathrm{\Im }[r(t)]\mathrm{\Im }[s(t-\tau )]\mathrm{d}t\end{array}$$

L(τ)===​∫T0​​[r(t)−s(t−τ)][r∗(t)−s∗(t−τ)]dt∫T0​​∣r(t)∣2+∣s(t−τ)∣2−[r(t)s∗(t−τ)+r∗(t)s(t−τ)]dt∫T0​​∣r(t)∣2+∣s(t−τ)∣2−ℜ[r(t)]ℜ[s(t−τ)]−ℑ[r(t)]ℑ[s(t−τ)]dt​
前两项是确定值，因此使$L(\tau )$最小，等价于使${\Lambda }_L(\tau )={\int }_{T_0}\Re [r(t)]\Re [s(t-\tau )]+\Im [r(t)]\Im [s(t-\tau )]\mathrm{d}t$最大
带入$s(t-\tau )={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{I}_{n}g\left(t-n{T}_s-\tau \right)$得到 Λ L ( τ ) = ∫ T 0 ℜ [ r ( t ) ] ∑ n ℜ [ I n ] g ( t − n T s − τ ) d t + ∫ T 0 ℑ [ r ( t ) ] ∑ n ℑ [ I n ] g ( t − n T s − τ ) d t = ∑ n ℜ [ I n ] ∫ T 0 ℜ [ r ( t ) ] g ( t − n T s − τ ) d t + ∑ n ℑ [ I n ] ∫ T 0 ℑ [ r ( t ) ] g ( t − n T s − τ ) d t = ∑ n [ ℜ [ I n ] y n ℜ ( τ ) + ℑ [ I n ] y n ℑ ( τ ) ] 其 中 ， y n ℜ ( τ ) = ∫ T 0 ℜ [ r ( t ) ] g ( t − n T s − τ ) d t y n ℑ ( τ ) = ∫ T 0 ℑ [ r ( t ) ] g ( t − n T s − τ ) d t

ΛL(τ)=∫T0ℜ[r(t)]∑nℜ[In]g(t−nTs−τ)dt+∫T0ℑ[r(t)]∑nℑ[In]g(t−nTs−τ)dt=∑nℜ[In]∫T0ℜ[r(t)]g(t−nTs−τ)dt+∑nℑ[In]∫T0ℑ[r(t)]g(t−nTs−τ)dt=∑n[ℜ[In]ynℜ(τ)+ℑ[In]ynℑ(τ)]其中，ynℜ(τ)=∫T0ℜ[r(t)]g(t−nTs−τ)dtynℑ(τ)=∫T0ℑ[r(t)]g(t−nTs−τ)dt" role="presentation">ΛL(τ)其中，ynR(τ)ynI(τ)=∫T0R[r(t)]∑nR[In]g(t−nTs−τ)dt+∫T0I[r(t)]∑nI[In]g(t−nTs−τ)dt=∑nR[In]∫T0R[r(t)]g(t−nTs−τ)dt+∑nI[In]∫T0I[r(t)]g(t−nTs−τ)dt=∑n[R[In]ynR(τ)+I[In]ynI(τ)]=∫T0R[r(t)]g(t−nTs−τ)dt=∫T0I[r(t)]g(t−nTs−τ)dt$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\Lambda }}_L(\tau )& ={\int }_{T_0}\mathrm{\Re }[r(t)]\sum _n\mathrm{\Re }\left[I_n\right]g\left(t-n{T}_s-\tau \right)\mathrm{d}t+{\int }_{T_0}\mathrm{\Im }[r(t)]\sum _n\mathrm{\Im }\left[I_n\right]g\left(t-n{T}_s-\tau \right)\mathrm{d}t\\ & =\sum _n\mathrm{\Re }\left[I_n\right]{\int }_{T_0}\mathrm{\Re }[r(t)]g\left(t-n{T}_s-\tau \right)\mathrm{d}t+\sum _n\mathrm{\Im }\left[I_n\right]{\int }_{T_0}\mathrm{\Im }[r(t)]g\left(t-n{T}_s-\tau \right)\mathrm{d}t\\ & =\sum _n\left[\mathrm{\Re }\left[I_n\right]y_{n\mathrm{\Re }}(\tau )+\mathrm{\Im }\left[I_n\right]y_{n\mathrm{\Im }}(\tau )\right]\\ 其中，y_{n\mathrm{\Re }}(\tau )& ={\int }_{T_0}\mathrm{\Re }[r(t)]g\left(t-n{T}_s-\tau \right)\mathrm{d}t\\ y_{n\mathrm{\Im }}(\tau )& ={\int }_{T_0}\mathrm{\Im }[r(t)]g\left(t-n{T}_s-\tau \right)\mathrm{d}t\end{array}$$

ΛL​(τ)其中，ynℜ​(τ)ynℑ​(τ)​=∫T0​​ℜ[r(t)]n∑​ℜ[In​]g(t−nTs​−τ)dt+∫T0​​ℑ[r(t)]n∑​ℑ[In​]g(t−nTs​−τ)dt=n∑​ℜ[In​]∫T0​​ℜ[r(t)]g(t−nTs​−τ)dt+n∑​ℑ[In​]∫T0​​ℑ[r(t)]g(t−nTs​−τ)dt=n∑​[ℜ[In​]ynℜ​(τ)+ℑ[In​]ynℑ​(τ)]=∫T0​​ℜ[r(t)]g(t−nTs​−τ)dt=∫T0​​ℑ[r(t)]g(t−nTs​−τ)dt​
${\Lambda }_L(\tau )$取最大的充分条件为：$\frac{d{\Lambda }_L(\tau )}{\mathrm{d}\tau }={\sum }_n\left[\Re \left[I_n\right]\frac{\mathrm{d}{y}_{n\Re }(\tau )}{\mathrm{d}\tau }+\Im \left[I_n\right]\frac{\mathrm{d}{y}_{n\Im }(\tau )}{\mathrm{d}\tau }\right]=0$

由上述推导，得到判决反馈的符号同步原理框图：

• 上面推导中的$y_{n\Re }(\tau )={\int }_{T_0}\Re [r(t)]g\left(t-n{T}_s-\tau \right)\mathrm{d}t$和$y_{n\Im }(\tau )={\int }_{T_0}\Im [r(t)]g\left(t-n{T}_s-\tau \right)\mathrm{d}t$，从表达式可见，分别对应基带信号$r(t)$的I路/Q路经过匹配滤波器$g(T-\tau )$后的结果
• 图中存在一个类似于锁相环的环路，保证了$\frac{d{\Lambda }_L(\tau )}{\mathrm{d}\tau }={\sum }_n\left[\Re \left[I_n\right]\frac{\mathrm{d}{y}_{n\Re }(\tau )}{\mathrm{d}\tau }+\Im \left[I_n\right]\frac{\mathrm{d}{y}_{n\Im }(\tau )}{\mathrm{d}\tau }\right]=0$条件成立
  当采样时刻正确，加法器输出接近于0；否则，加法器的非零输出控制压控时钟VCC，从而调制采样时刻（直到加法器输出接近于0）
  要注意，这里用到了符号$I_n$，因此需要将解调出来的符号$I_n$反馈给符号同步模块，故称为“判决反馈的符号同步方法”，当然，在判决存在错误时本方法性能下降。
• 压控时钟VCC：就是在VCO输出正弦信号的基础上，将其整形为同频同相的方波，并用于控制抽样时刻
• 加法器实际上用LPF实现

符号同步：无判决反馈的符号同步方法

为了摆脱对于信息符号的依赖，将似然函数对将信息符号做统计平均，得到平均的似然函数，并经过一系列处理得到简洁的似然函数$${\tilde{\Lambda }}_L(\tau )\approx \sum _n{y}_n^{\prime 2}(\tau )$$其中，$y_{2n}^{\prime }(\tau )=2y_{n\Re }(\tau ),n=0,1,\cdots ,N-1,y_{2n+1}^{\prime }(\tau )=2y_{n\Im }(\tau ),n=0,1,\cdots ,N-1$
上式取得极大值的充分条件：$$\frac{d{\tilde{\Lambda }}_L(\tau )}{\mathrm{d}\tau }=0$$
实现时，又可以写为两种形式：

1. ${\sum }_n\frac{\mathrm{d}{y}_n^{\prime 2}(\tau )}{\mathrm{d}\tau }=0$，原理框图如下
   
2. ${\sum }_n{y}_n^{\prime }(\tau )\frac{\mathrm{d}{y}_n^{\prime }(\tau )}{\mathrm{d}\tau }=0$，原理框图如下
   
   ps. 图中只画出了I路信号，Q路处理方式与之相同

与载波恢复技术对比：
第一种类似于载波恢复中的平方环
第二种类似于载波恢复中的Costas环
区别是，载波恢复中，微分的结果是相移$\pi /2$，而这里用了显式的微分表达；另外，这里的加法器起到了环路滤波器的作用