通信原理学习笔记6-3：数字解调——判决和误码率推导

根据 [通信原理学习笔记6-1]，基础的解调链路由下变频、匹配滤波器、抽样、判决组成，并且已经知道：

• 在无ISI时，任意位置$n$上的一个符号$I_n$，经过AWGN信道、匹配滤波器、采样后，接收端得到符号$Y_n$$$Y_n=I_n+n_n$$
• 其中，$n_n$为离散高斯白噪声，原因：
  高斯白噪声$n(t)$经过匹配滤波器$g(T-t)$，得到带限高斯白噪声$n_B(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }n(\tau )g[t-(T-\tau )]\mathrm{d}\tau$
  带限高斯白噪声$n_B(t)$在$T+n{T}_s$时刻采样得到离散高斯白噪声$n_n$（自相关函数满足$R_{nn}[n]=\frac{N_0}{2}\delta [n]$，故噪声方差/功率谱密度$N_0/2$）

抽样判决

判决，就是在数字解调中，将接收符号判定为某个可能的发射符号

这里直接给出译码准则的结论，具体依据在6-3文章介绍：

• 根据下面的译码准则，当噪声为高斯的，ML准则等价于最小二乘LS准则
• 在QAM中，$I_n$为复数（星座点$c\in C$位于复平面上）的情况下，
  最小二乘准则LS进一步具体化为最小距离准则：
  最终判决结果就是在星座图上找一个点$c$，使得$c$和接收符号$Y_n$的欧式距离最小
  $${\hat{I}}_n=\arg \underset{c\in C}{\min }{\left|Y_n-c\right|}^2$$

6-3中还会详细介绍译码准则的来源

误码率的讨论

平均比特能量$E_b$

对于$Y_n=I_n+n_n$，其中离散高斯白噪声$n_n$的方差/功率谱密度为$N_0/2$

• 符号能量为$E_s=E[|I_n{|}^2]={\sum }_{m=1}^M\frac{|c_m{|}^2}{M}$（所有复数星座点能量取平均）
• 噪声功率谱密度：$N_0$（复信号的两路实信号，或实信号的双边带）
• 实际中更经常使用的是平均比特能量$E_b$，就是将一个符号的能量平摊到其承载的比特中：$$E_b=\frac{E_s}{lo{g}_{2}M\cdot R}$$其中$R$为信道编码的码率（比如1bit编码为2bit，则$R=1/2$）
  采用了平均比特能量$E_b$，有利于公平比较不同的编码调制方式
• 数字系统的信噪比，用$E_b/N_0$衡量，该指标和模拟系统的信噪比概念本质相同：$\frac{S}{N}=\frac{E_b}{N_0}\cdot \frac{R_b}{B}$

误码率推导

一般而言，数字系统的误码率，就是关于$E_b/N_0$的函数

下面用2PAM举例，推导误码率：

2PAM的星座点若位于$c=\pm \sqrt{E_s}$，则其符号能量为$c^2=E_s$，由于2PAM（M=2）无信道编码（R=1），故平均比特能量$E_b=E_s$
由于接收符号$$Y_n=I_n+n_n$$
$I_n=c$为一个星座点，而$n_n$为高斯随机变量，故最终$Y_n$也是高斯随机变量（均值为$I_n=c=\pm \sqrt{E_b}$，方差为$N_0$），分别讨论发射端的符号为$I_n=c=\pm \sqrt{E_b}$的两种情况：$$\begin{gathered} p_{Y_n\mid I_n=\sqrt{E_b}}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}{\mathrm{e}}^{-{\left(x-E_b\right)}^2/N_0} \\ {p}_{Y_n\mid I_n=-\sqrt{E_b}}(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi N_n}}{\mathrm{e}}^{-{\left(x+E_b\right)}^2/N_0} \end{gathered}$$

如图所示，如果判决门限为0，则发射符号为$I_n=\sqrt{E_b}$时，接收端错误判决概率为 P ( E ∣ I n = E b ) = ∫ − ∞ 0 p Y n ∣ I n = E b ( x ) d x = 1 π N 0 ∫ − ∞ 0 e − ( x − E b ) 2 / N 0   d x = Q ( 2 E b N 0 )

P(E∣In=Eb)=∫−∞0pYn∣In=Eb(x)dx=1πN0∫−∞0e−(x−Eb)2/N0 dx=Q(2EbN0)" role="presentation">P(E∣In=Eb−−√)=∫0−∞pYn∣In=Eb√(x)dx=1πN0−−−−√∫0−∞e−(x−Eb)2/N0 dx=Q(2EbN0−−−−√)$$\begin{array}{rl}P\left(E\mid I_n=\sqrt{{\mathcal{E}}_b}\right)& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{p}_{Y_n\mid I_n=\sqrt{{\mathcal{E}}_b}}(x)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^0{\mathrm{e}}^{-{\left(x-{\mathcal{E}}_b\right)}^2/N_0}\mathrm{d}x\\ & =Q\left(\sqrt{\frac{2{\mathcal{E}}_b}{N_0}}\right)\end{array}$$

P(E∣In​=Eb​ ​)​=∫−∞0​pYn​∣In​=Eb​ ​​(x)dx=πN0​ ​1​∫−∞0​e−(x−Eb​)2/N0​ dx=Q(N0​2Eb​​ ​)​
同理，由于星座点关于判决门限具有对称性，发射$I_n=-\sqrt{E_b}$时的误码率$P\left(E\mid I_n=-\sqrt{E_b}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{2E_b}{N_0}}\right)$
（同时考虑发射不同符号的概率 以及 发射给定符号时的误码率）总体的误码率由全概率公式给出$$P(E)=P\left(E\mid I_n=-\sqrt{E_b}\right)P\left(I_n=-\sqrt{E_b}\right)+P\left(E\mid I_n=\sqrt{E_b}\right)P\left(I_n=\sqrt{E_b}\right)=Q\left(\sqrt{\frac{2{\mathcal{E}}_b}{N_0}}\right)$$