1391：局域网(net)——Prim、Kruskal 最小生成树

【题目描述】
某个局域网内有n(n≤100)台计算机，由于搭建局域网时工作人员的疏忽，现在局域网内的连接形成了回路，我们知道如果局域网形成回路那么数据将不停的在回路内传输，造成网络卡的现象。因为连接计算机的网线本身不同，所以有一些连线不是很畅通，我们用f(i,j)表示i,j之间连接的畅通程度(f(i,j)≤1000)，f(i,j)值越小表示i,j之间连接越通畅，f(i,j)为0表示i,j之间无网线连接。现在我们需要解决回路问题，我们将除去一些连线，使得网络中没有回路，并且被除去网线的Σf(i,j)最大，请求出这个最大值。

【输入】
第一行两个正整数n,k
接下来的k行每行三个正整数i,j,m表示i,j两台计算机之间有网线联通，通畅程度为m。

【输出】
一个正整数，Σf(i,j)的最大值。

【输入样例】
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1 3 1
1 5 3
2 4 5
3 4 2
【输出样例】
8

分析

1. 此题比较重要的突破口就是转化（逆向思维），将求移走回路的最大值转化为：距离总和减去最小生成树的权值和，也就是根据题目提供的边构造一个最小生成树即没有回路，也让权值和minans达到最小，然后输入的距离和sum减去minans即可；
2. Kruskal算法比较简单，并查集思想，参考：1350：【例4-11】最短网络(agrinet)——Kruskal算法，需要注意两个初始化：初始化表示祖先的f数组，以及存储边的的数组e，就其按照dis排序；
3. Prim算法也是可以求最小生成树的，有点像最短路的Dijstra算法，个人认为没有Kruskal写得快，可能还是不熟练，Prim用在稠密图、Kruskal用在稀疏图；Prim算法参考：1349：【例4-10】最优布线问题——Prim算法；也不能忘了两个初始化，存边的g数组，以及存最短距离的dist数组；

Kruskal算法

#include

using namespace std;

struct edge {
    int u, v, dis;
};

bool cmp(edge a, edge b) {
    return a.dis < b.dis;
}

const int N = 110;
edge e[N];
int f[N];
int n, k, idx, minans, sum;

int find(int x) {
    if (x == f[x])
        return x;
    return f[x] = find(f[x]);
}

void merge(int x, int y) {
    x = find(x);
    y = find(y);
    f[x] = y;
}

void kruskal() {
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
        int u = e[i].u, v = e[i].v, dis = e[i].dis;
        if (find(u) != find(v)) {
            merge(u, v);
            minans += dis;//累加最短距离
        }
    }
}

int main() {
    cin.tie(0);
    cin >> n >> k;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
        cin >> e[++idx].u >> e[idx].v >> e[idx].dis;
        sum += e[idx].dis;
    }
    //两个初始化不能忘
    sort(e + 1, e + 1 + k, cmp);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        f[i] = i;
    }
    kruskal();
    //总距离减去构成最小生成树的最小权值和，即是想求得最大值
    cout << sum - minans;
}

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Prim算法

#include

using namespace std;


const int N = 110, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, k, minans, sum;
int g[N][N];
int dist[N];//每个点距离最小生成树的最短距离
int st[N];

void prim() {
    memset(dist, INF, sizeof dist);
    //n次迭代
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        int t = -1;
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                t = j;
        }
        // 如果当前不是第一个点的话，并且dist[t]等于正无穷的话，即当前距离最近的点到集合都是正无穷，说明当前图不连通的
        if (i && dist[t] == INF)
            return;

        //累加权值（当i为0，说明为第一个结点，生成树至少要有一个结点，i=0时dist[t]=INF，不累加）
        if (i)
            minans += dist[t];
        st[t] = 1;

        //用t更新其他点到最小生成树的距离
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            //区分dijkstra：dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
            // g[j][t]为当前j到生成树中的t的距离
            dist[j] = min(dist[j], g[j][t]);
        }
    }
}


int main() {
    cin.tie(0);
    cin >> n >> k;
    //不能忘
    memset(g, INF, sizeof g);
    for (int i = 1; i <= k; ++i) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = c;
        sum += c;
    }
    prim();
    //总距离减去构成最小生成树的最小权值和，即是想求得最大值
    cout << sum - minans;
}

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