贤鱼的刷题日常-拦截导弹-详细题解

🏆今日学习目标：
🍀学会导弹拦截题目
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题目

描述
某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度（可以等于）。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。
输入导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数），计算这套系统最多能拦截多少导弹。
输入
第一行是一个整数 N（1<=N<=15），表示导弹数。
第二行包含 N 个整数，为导弹依次飞来的高度（雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数）。
输出
一个整数，表示最多能拦截的导弹数。
样例输入
8
389 207 155 300 299 170 158 65
样例输出
6

思路

很明显,这就是一个求最长不下降子序列的题,这里用nlogn的方法讲解题目
首先了解一下lower_bound和upper_bound()
这里有详细解说
15分钟带你了解lower_bound和upper_bound

来看一下如何求不下降子序列
这里的n储存了所有导弹的高度,r1从1开始,将第一个导弹的高度贤赋值,所以r1就是最长不上升子序列的长度

389 207 155 300 299 170 158 65用题解举个例子来看看下列代码
389 207 155会都加进去
到了300的时候,会进入else,这里*指的是地址,而这一句话的意思就是将第一个小于等于这个高度,于是数组变成了389 300 155
到299的时候会替换掉155,于是数组变成了389 300 299
接下来的170 159 65都可以顺利加入,所以最后的答案是6

b1[1]=n[1];
	r1=1;
for(int i=2;i<=c;i++){
		if(b1[r1]>=n[i]){
			b1[++r1]=n[i];
		}
		else {
			*upper_bound(b1+1,b1+r1+1,n[i],greater<int>())=n[i];
		}
	}
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代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n[2002],t=1,f;
int b1[2002],b2[2002],r1,r2;
int main(){
	int c;
	cin>>c;
	for(int i=1;i<=c;i++){
		cin>>n[i];
	}
	b1[1]=n[1];
	r1=1;
	for(int i=2;i<=c;i++){
		if(b1[r1]>=n[i]){
			b1[++r1]=n[i];
		}
		else {
			*upper_bound(b1+1,b1+r1+1,n[i],greater<int>())=n[i];
		}
	}

	cout<<r1<<endl;
}
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拓展

有些题目还要求说至少多少个拦截装置可以拦截多少导弹,这里我们一起对其做出解答

狄尔沃斯定理(Dilworth 定理)

这里不对定理做出解答,如有需要可以看这里狄尔沃斯定理

总结一下:其最长链中元素的数目必等于其最小反链划分中反链的数目,只需要理解这句话,就可以发现题目没有任何难度

	b2[1]=n[1];
	r2=1;
	for(int i=2;i<=c;i++){
		if(b2[r2]<n[i]){
			b2[++r2]=n[i];
		}
		else {
			*lower_bound(b2+1,b2+r2+1,n[i])=n[i];
		}
	}

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只要上面的定理理解了,这个题目就没有任何的难度了

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