通信原理学习笔记5-1：数字调制——脉冲成形滤波器选择（码间串扰、Nyquist准则、升余弦滚降滤波器、眼图）

数字调制分为三步：

1. 比特映射：比特$b_k$映射到符号$I_n$（一个复数，即IQ调制的复数星座点，即IQ两路实信号），符号可以取$M$种离散值，称为$M$元的，一个多元符号承载多个比特；
   一系列符号组成了一个冲激函数序列$I(t)={\sum }_{n=-\infty }^{\infty }{I}_n\delta (t-n{T}_s)$
2. 脉冲成形：每个符号对应产生某种波形，所有符号的波形按时间顺序叠加
   符号序列经过成形滤波器$g(t)$，输出电路中的连续波形，即基带信号$$s(t)=I(t)\ast g(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{I}_{n}g(t-n{T}_s)$$

使用不同成形脉冲的效果不同：
使用矩形脉冲，则基带信号为不断变化的矩形电平，经过上变频后得到理想正弦波；
然而，实际中常使用升余弦滚降滤波器作为成形滤波器，时域基带信号更平滑（而非矩形电平），从而上变频后能够抑制带外泄露

3. 上变频：将基带信号$s(t)$搬移至载波，这部分和模拟调制类似
   在实际中，我们传输复信号$s(t)$（即星座点），这一部分等效实现为IQ调制（用实频带信号传输复基带信号）

下面先接收数字调制中遇到的两个问题，然后介绍「脉冲成形」是如何解决这两个问题的

问题：带外泄露

带外泄露：信号超出了规定的工作频带，从而可能影响工作在相邻频段的系统；
另外，带宽过大时，经过带限信道后，信号也会变形，从而产生误码

• 通信中信道的频带资源有限，因此要严格控制带外泄露，具体而言也就是通过控制基带信号的带宽，从而控制已调信号的带宽（频谱搬移关系）
• 脉冲成形的作用之一是控制带外泄露，下面将看到，选择不同的成形滤波器，得到的信号频谱是不同的

问题：码间串扰

解调时，对当前符号的判决不利的两个因素是「噪声」和「码间串扰ISI」，码间串扰ISI就是其他符号（的时域拖尾）对当前采样时刻的干扰

脉冲成形后，基带信号=时域上不同时刻的一系列脉冲信号的叠加，如果一个码元 / 脉冲 达到最大幅值时，其他所有码元幅值刚好为0，则在此时进行采样判决，码元直接不会相互影响，这就是无码间串扰

无码间串扰：Nyquist准则

注意，下面分析等效复低通信号，$I_n$为复数，$g(t)$为复信号，并且$g(t)$的持续时间不局限于一个符号周期内，而是有拖尾的（使用宽度$T_s$的矩阵脉冲显然没有码间串扰问题，然而存在带外泄漏问题，后面将说明：使用有拖尾的特定波形，能同时解决ISI和带外泄漏问题）

基带信号是各个码元周期对应的脉冲成形波形的移位叠加（这里假设接收信号与发射信号相同）：$$r(t)=s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{I}_{n}g(t-n{T}_s)$$

解调时，对$r(t)$做$T_s$的等间隔采样（每个符号抽样判决一次），采样结果为$r(n{T}_s)$，那么无码间串扰，就是希望$r(n{T}_s)=I_n$（也就是说，采样时不希望受到其他时刻符号值的影响）

系数$I_n$只影响$r(n{T}_s)$的幅度，将其忽略，只关注脉冲成形函数$g(t)$，那么无码间串扰就是 要求$g(t)$在特殊位置的拖尾为0，即采样序列 g s ( t ) = g ( n T s ) = { 1 n = 0 0 n ≠ 0 = δ ( t ) g_s(t)=g\left(nT_{s}\right)=\left\{

\right.=\delta(t) gs​(t)=g(nTs​)={1n=00n​=0​=δ(t)（各符号的拖尾不影响其他符号在其他时刻的抽样判决）

进一步求解对$g_s(t)$的频谱$G_s(\omega )$的约束条件

对$g(t)$做$T_s$的等间隔采样得到$g_s(t)$，对其表达式做傅立叶变换得到$G_s(\omega )$.
$$\begin{gathered} g_s(t)=g(t)\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nTs)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g\left(n{T}_s\right)\delta (t-nTs) \\ {G}_s(\omega )=\frac{1}{2\pi }G(\omega )\ast [\frac{2\pi }{T_s}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -\frac{2\pi n}{T_s})]=\frac{1}{T_s}\sum _{n=-\infty }^{\infty }G(\omega -\frac{2\pi n}{T_s}) \end{gathered}$$
带入$g_s(t)=g\left(n{T}_s\right)=\delta (t)$的要求，上面两式必须满足$$\begin{gathered} g_s(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g\left(n{T}_s\right)\delta (t-nTs)=\delta (t) \\ {G}_s(\omega )=\frac{1}{T_s}\sum _{n=-\infty }^{\infty }G(\omega -\frac{2\pi n}{T_s})=1（做上式的傅里叶变换可知） \end{gathered}$$

这就是Nyquist准则：

• 第一个式子保证时域拖尾互不干扰，时域上每隔$T_s$采样，除了本码元采样点之外的所有采样点应该为0
• 第二个式子是说，将频谱$G(\omega )$以$\frac{2\pi n}{T_s}$为周期延拓后，所有延拓的频谱叠加，应该为常数$T_s$；
  或者也可以仅关注一个主值区间内的情况：将频谱$G(\omega )$沿$\omega$轴以$\frac{2\pi n}{T_s}$为长度切段，平移各段到原点附近并累加，结果应该为常数$T_s$

要满足Nyquist准则，脉冲成形函数$g(t)$ / 基带信号$s(t)$的的最小带宽为$B_0\ge \frac{1}{2T_s}=\frac{R_s}{2}$（或者说最小数字频率$2\pi B_0\ge \frac{\pi }{T_s}$）
注意，这里的带宽$B_0$是理想低通信道的带宽
或者等价的说，带通信道的Nyquist带宽为$B_0\ge R_s$

实际中，OFDM信号就达到带通信道的奈奎斯特带宽，理论上最节约信道资源
虽然实际上基带信道带宽略大于$\frac{R_s}{2}$，但是相邻频带重叠，利用子载波正交性总体上仍没有重叠，即等效于到达了最小的奈奎斯特带宽，实现理论最大频带利用率

扩展：奈奎斯特带宽、奈奎斯特速率

在Nyquist准则的基础上，我们又得到了奈奎斯特带宽、奈奎斯特速率的概念

信道容量：在信道中进行无差错传输可达的最大信息速率

解调时，对当前符号的判决不利的是「噪声」和「码间串扰ISI」，在不同信道情况下，计算信道容量的方式不同。下面可以看出，「码间串扰ISI」是信道容量永远无法摆脱的内在束缚，而「噪声」的存在进一步减小了信道容量

1. 理想无噪信道：数据率的限制仅来自于信号的「带宽 」（涉及码间串扰限制），计算信道容量使用奈奎斯特准则
   理解：即使没有噪声，信号自己会对自己造成干扰（这就是码间干扰，就像说话太快前后几个字混淆不清），但是只要不断增加带宽就能不断增加数据率

奈奎斯特准则的理论，延伸出奈奎斯特带宽和奈奎斯特速率两个概念（下面的$B$是理想的低通信道的带宽）
奈奎斯特带宽：固定了符号速率$R_s=\frac{1}{T_s}$，则在无噪信道无ISI（无差错）传输所需的最小带宽$B\ge \frac{R_s}{2}$
奈奎斯特速率：固定了带宽$B$，那么在无噪信道无ISI（无差错）传输能达到的最大符号速率为$R_s\le 2B$
根据奈奎斯特速率，无噪信道容量：$C=2Blo{g}_{2}M(bps)$，其中$M$为一个码元可能对应的离散值个数

2. 实际有噪信道：数据率上限由「带宽」和「信噪比」共同决定（而不仅仅是带宽了），计算信道容量使用香农公式
   理解：有噪声的情况下，香农公式指出，无限增加带宽就不一定能相应增加传输速率了，因为信道带宽增加其中混入的白噪声也就增加了（信道容量上限${\lim }_{B\to \infty C=lo{g}_{2}e\cdot (S/n_0)},n_0为噪声功率谱密度$）

有噪信道容量：$C=2Blo{g}_2(1+SNR)$，其中$M$为一个码元可能对应的离散值个数

脉冲成形

想要在信道中真正传输数字信号（如01比特），必须将它们转化为一定的电路波形 / 脉冲信号，称为脉冲成形；
脉冲成形，具体实现方法就是冲激信号经过基带滤波器$g(t)$（一个滤波器），得到时域脉冲波形，下面讨论什么样的$g(t)$是合适的

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结论：

• 理论分析中可以用矩形脉冲，但实际中均为类似sinc的脉冲，由升余弦滚降滤波器生成
  矩形脉冲没有 ISI 问题，但有带外泄漏，而使用类似sinc的脉冲可以同时解决ISI和带外泄漏问题
• 注意，采用sinc脉冲会进一步导致PSK / QAM调制得到的波形，并不是标准的余弦波（这对应于由矩形脉冲生成的理想波形），然而我们在实际中并不需要关注调制后的波形如何，只要关注波形解调后对于sinc脉冲的采样判决，后面将看到，sinc脉冲能很好的降低码间串扰
• 接收端收到基带的脉冲信号，进行采样判决，再将其还原为一个个符号，进而得到数字信号

具体分析如下：

矩形脉冲：带宽无限，不可行

最容易想到的脉冲就是矩形脉冲，我们直接用其高低电平来对应数字信号，然而脉冲信号的频谱有无限的带宽：$$\mathcal{F}[rect(\frac{t}{\tau })]=\tau sinc(\tau f)$$
实际信道带宽有限，这样就会导致传输后信号频谱变形，时域信号失真，很容易误判
或者说，带外功率的衰减慢，带外泄露强

如图，发送端的理想矩形脉冲，经过信道后信号失真（频域上低通，时域上平滑），从而误判

可见，矩形脉冲在频域上带宽无限，经过带限信道很容易失真，这就是为什么要控制带外泄露
接下来尝试选择其他更合适的脉冲成形滤波器

sinc脉冲：理想的脉冲成形

前置知识补充
根据尺度变换性质$\mathcal{F}[x(\alpha t)]=\frac{1}{|\alpha |}X(\frac{\omega }{\alpha })$，尺度变换因子$\alpha$对时域和频域的作用是相反的：

• $\alpha >1$时域波形变窄，则频谱变宽（含有更多高频分量）
• 也可以说，时域信号的跳变引起频域的扩展（时域跳变包含大量高频成分，从而频谱变宽）
  频域信号的跳变引起时域的扩展

既然需要有限宽的频谱来减少带外泄露，则根据傅里叶变换的对偶性，我们想到$$\mathcal{F}[sinc(\tau t)]=\frac{1}{\tau }rect(\frac{f}{\tau }),其中\tau =2B$$
左侧为sinc信号时域波形，右侧为频谱（就是一个理想LPF）

使用sinc作为脉冲信号，优点如下：

• 频谱带宽有限（理想LPF的频谱），经过带通信道不失真
• 实现简单：脉冲成形的成形滤波器就是理想LPF
• sinc信号每间隔$1/\tau$幅值取0，因此只要取$\tau =2B$，sinc脉冲信号的发送间隔为$1/\tau =1/(2B)$，即可实现无码间串扰
  此时码元速率刚好为奈奎斯特速率$R_s=2B$；带通频谱宽度（为矩形频谱的总宽度）为$\tau =2B$，刚好为奈奎斯特带宽

如图，如果一个码元 / 脉冲 达到最大幅值时，其他所有码元幅值刚好为0，在此时进行采样判决，码元直接不会相互影响，这就是无码间串扰

sinc函数实现了Nyquist准则要求的最小带宽$R_s/2$，并且无码间干扰ISI，但问题在于

• sinc脉冲成形对应的基带滤波器是理想LPF，是不可能实现的

• 理想的LPF是非因果滤波器（冲激响应在时域上有无限长的拖尾，当前输出取决于未来输入），想要实现必须将系统冲激响应的拖尾截断并做延时（将一段时间的输入缓存下来），转化为因果系统；
  并且，截断位置和延时取决于 信号何时衰减至可以被忽略，信号衰减越快，可以使用越小的截断范围和延时
  

• 衰减速度慢还带来其他缺点：拖尾衰减速度慢，且拖尾振荡幅度大，因此一旦出现定时偏差/采样时刻偏离，将导致严重码间串扰（有定时偏差，不能保证当前码元抽样时刻“对齐”了其余码元取值为0的位置，从而由于拖尾引起码间串扰**）
  也就是说，拖尾衰减慢，则要求采样精度更高

综上，sinc函数作为脉冲成形函数，理论上可行，实际上仍需改进（希望加快衰减速度）

升余弦滚降滤波器：从理想sinc到实际应用

sinc脉冲成形函数的缺点是时域拖尾长，但频谱是理想LPF，无法实现；
由于频域信号的跳变引起时域的扩展，可以采用频谱更平滑的脉冲成形滤波器，从而时域拖尾衰减更快——此即升余弦滚降滤波器
实际应用中，使用「升余弦滚降滤波器RC」来逼近理想的LPF，并且能够控制脉冲的拖尾衰减速度
升余弦滚降滤波器RC可以加速信号拖尾的衰减，代价是频带的展宽

如右图，升余弦滚降滤波器RC一般有过渡带，且过渡带就是把余弦函数的一个周期升高了1，故称"升余弦" g ( t ) = sinc ⁡ ( t T s ) cos ⁡ ( π α t / T s ) 1 − ( 2 α t / T s ) 2 G ( ω ) = { T s ∣ ω ∣ ⩽ ∣ 1 − α ∣ 2 π B 0 T s 2 [ 1 + cos ⁡ ∣ ω ∣ − ( 1 − α ) 2 π B 0 4 α B 0 ] ∣ 1 − α ∣ 2 π B 0 < ∣ ω ∣ ⩽ ∣ 1 + α ∣ 2 π B 0 0 ∣ ω ∣ > ∣ 1 + α ∣ 2 π B 0 g(t)=\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T_{s}}\right) \frac{\cos \left(\pi \alpha t / T_{s}\right)}{1-\left(2 \alpha t / T_{s}\right)^{2}}\quad G(\omega)=\left\{

Ts|ω|⩽|1−α|2πB0Ts2[1+cos⁡|ω|−(1−α)2πB04αB0]|1−α|2πB0<|ω|⩽|1+α|2πB00|ω|>|1+α|2πB0" role="presentation">TsTs2[1+cos|ω|−(1−α)2πB04αB0]0|ω|⩽|1−α|2πB0|1−α|2πB0<|ω|⩽|1+α|2πB0|ω|>|1+α|2πB0$$\begin{array}{ll}{T}_s& |\omega |⩽|1-\alpha |2\pi B_0\\ \frac{T_s}{2}\left[1+\cos \frac{|\omega |-(1-\alpha )2\pi B_0}{4\alpha B_0}\right]& |1-\alpha |2\pi B_0<|\omega |⩽|1+\alpha |2\pi B_0\\ 0& |\omega |>|1+\alpha |2\pi B_0\end{array}$$

\right. g(t)=sinc(Ts​t​)1−(2αt/Ts​)2cos(παt/Ts​)​G(ω)=⎩⎪⎨⎪⎧​Ts​2Ts​​[1+cos4αB0​∣ω∣−(1−α)2πB0​​]0​∣ω∣⩽∣1−α∣2πB0​∣1−α∣2πB0​<∣ω∣⩽∣1+α∣2πB0​∣ω∣>∣1+α∣2πB0​​

升余弦滚降滤波器的关键参数是 滚降系数$\alpha$，满足$0\le \alpha \le 1$
如图，升余弦滚降滤波器RC的频率响应是平缓的（因此相比于理想LPF可实现性更强），过渡带中心为$f_0=B=\frac{R_s}{2}=\frac{1}{2T_s}$

• 无论$\alpha$取值如何，时域波形仍然满足：每间隔$T_s=\frac{1}{2f_0}=\frac{1}{2B}$取值为0
• 无论$\alpha$取值如何，频率响应的过渡带中心固定为$f_0$
• $\alpha$控制了频率响应的过渡带宽度，过渡带中心$f_0$向左有$\alpha f_0$宽度，向右同样有$\alpha f_0$宽度，故总带宽$(1+\alpha )f_0$
  $\alpha =0$就是理想LPF的情况；
  $\alpha$增大，频域增大带宽（实现难度降低），时域的信号拖尾衰减加快（能够减小由定时偏差带来的码间串扰）；
  然而$\alpha$过大也意味着频带利用率$\eta$降低：$\eta =\frac{R_s}{(1+\alpha )R_s/2}=\frac{2}{1+\alpha }(Baud/Hz)$，需要权衡利弊（一般取$\alpha =0.3$）

下面证明：为了无码间串扰，升余弦滚降滤波器RC的过渡带中心必须取$f_0=R_s/2$，进而时域脉冲信号带宽$(1+\alpha )R_s/2$；

要满足无码间串扰：

• 从时域看：由于波形每隔$\frac{1}{2f_0}=\frac{1}{2B}$取0，则无ISI要求码元速率$R_s=2f_0=2B$
• 或者从频域看：要满足Nyquist准则（频谱以$R_s$做周期延拓并叠加后为恒定常数），这也要求了必须取过渡带中心$f_0=R_s/2$

从两个角度分析，得到的结果是统一的

对比两种成形脉冲：

• sinc脉冲（理想LPF）：无码间串扰，满足奈奎斯特准则，且带宽刚好就是奈奎斯特带宽$R_s/2$（给定码元速率时理想的最小带宽）
• 升余弦滚降滤波器RC：无码间串扰，但是带宽$(1+\alpha )f_0$，略大于带奎斯特带宽

最终，采样升余弦滚降滤波器作为基带滤波器，进行脉冲成形，得到的时域波形如下：

可见，在每个抽样点处，当前码元的幅值达到最大，而其余码元在该点幅值为0，从而无码间串扰，能够正确判决

眼图：评估码间串扰情况

眼图是评价实际系统的码间串扰情况的工具，示波器叠加显示基带信号的波形，波形如同眼睛，称为眼图

眼图生成原理

理论上当前码元的波形受其余所有码元的拖尾影响，但最主要的影响来自前后两个码元，因此我们只关注连续三个码元的时域叠加波形即可：三个码元所有可能取值为$000、001、010、011、100、101、110、111$

和上面的图片同理，上图中$000$三个码元的合成波形为（码元$0$对应的是正脉冲）

$001$三个码元的合成波形为

$010$三个码元的合成波形为

由此类推，所有可能的连续三个码元的时域波形叠加，得到了眼图

眼图能显示噪声和码间串扰的影响

• 噪声：导致眼图中的线迹模糊不清
• 码间串扰：导致“眼睛”张开的更小、眼图不端正（眼图的中心时刻对应了当前码元的采样判决时刻，如果混入了其他码元的影响，则“眼睛”就逐渐闭上了）