集合划分-递归分治

题目

集合划分：
给一个有 n 个元素的集合，将它划分为多个非空子集（可以包含自己），问有多少种划分？

样例输入

4

样例输出

15

样例解释

输入为 n ，表示集合有n个元素
输出为15 ，表示有15种划分：
{{1}，{2}，{3}，{4}}，
——————————————————
{{1，2}，{3}，{4}}，
{{1，3}，{2}，{4}}，
{{1，4}，{2}，{3}}，
{{2，3}，{1}，{4}}，
{{2，4}，{1}，{3}}，
{{3，4}，{1}，{2}}，
——————————————————
{{1，2}，{3，4}}，
{{1，3}，{2，4}}，
{{1，4}，{2，3}}，
——————————————————
{{1，2，3}，{4}}，
{{1，2，4}，{3}}，
{{1，3，4}，{2}}，
{{2，3，4}，{1}}，
——————————————————
{{1，2，3，4}}

分析

1. 因为是集合，因此不用考虑是否会有重复的元素出现。（集合的性质）
2. 将 n 元素划分，可以划分为1~ n 组。

• 如果划分为1组，那一个组就有 n 个元素；
• …
• 如果划分为 n 组，那么每组就是一个元素。
  如果我们能设计出将 n 元素划分为 m 组的函数f(n,m),外面嵌套一个对 m 的 for 循环就可以了。

3. 假设将一个 n 元素划分为一个 m 组：
   （1）如果 n = 1 ，说明只有一个元素，则只能划分为一个组
   （2）如果 m = 1 ，说明划分为1组，则也只有一种划分。
   （3）如果 n = m ，将 n 个元素划分为 n 组，肯定也只有一种划分。
   （4）else：这里可以采用分治递归的方式解决：
   ”将 n 个元素划分为 m 组 “可以分成下面两种情况：
   ①如果第 n 号元素被单独分为了一组，那接下来就是需要将1~ n-1 个元素划分为 m-1 组。f(n,m)=f(n-1,m-1)
   ②如果第 n 号元素没有被单独分为了一组，接下来就是需要把 1~ n-1 个元素划分为 m 组，把 n 号元素插入到 m 组中的其中一组中去。f(n,m)=m*f(n-1,m)

AC代码

#include
using namespace std;
long f(int n,int i) {//将n个数划分为i组 会有多少种划分？？ 
	if(i==1||n==i)//如果划分为n组 或者划分为1组 则均只有一种划分 
		return 1;
	return f(n-1,i-1)+i*f(n-1,i);
	//将n号元素单独为一组，剩下1~n-1个元素为i-1组
	//不将n个元素单独为一组：
	//将1~n-1个元素分为i组，将n号元素插入到其中某一组中去，
	//插到哪组呢？有i种插法，因此需要乘i 
}
int main() {
	int n,sum=0;
	cin>>n;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		sum+=f(n,i);
	cout<<sum;
}