矩阵初等变换与矩阵乘法的联系

前置知识：

• 【定义】矩阵
• 逆矩阵的性质
• 【定义】矩阵初等变换和矩阵等价

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前置定义 1（矩阵等价）　如果矩阵 $\mathbf{A}$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $\mathbf{B}$，就称矩阵 $\mathbf{A}$ 与 $\mathbf{B}$ 行等价，记作 $\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{B}$

证明见 “【定义】矩阵初等变换和矩阵等价”。

前置定理 2　有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。

证明　不妨设 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 均可逆，则有 $(\mathbf{A}\mathbf{B})(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{-1}=(\mathbf{A}\mathbf{B})({\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1})=\mathbf{E}$，即 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 可逆。以此类推，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。得证。

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定义　由单位矩阵 $\mathbf{E}$ 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

（1）对换两行

把单位矩阵中第 $i,j$ 两行对换（或将第 $i,j$ 两列对换），得到初等矩阵
E ( i , j ) = ( 1 ⋱ 1 0 ⋯ 1 1 ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 0 1 ⋱ 1 ) \boldsymbol{E}(i,j) =

E(i,j)= ​1​⋱​1​0⋮1​1​⋯⋱⋯​1​1⋮0​1​⋱​1​ ​
可以验知：

• 用 $m$ 阶初等矩阵 ${\mathbf{E}}_m(i,j)$ 左乘矩阵 $\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，其结果相当于对矩阵 $\mathbf{A}$ 施行第一种初等行变换：把 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 列对换（$r_i\leftrightarrow r_j$）；
• 用 $n$ 阶初等矩阵 ${\mathbf{E}}_n(i,j)$ 右乘矩阵 $\mathbf{A}$，其结果相当于对矩阵 $\mathbf{A}$ 施行第一种初等列变换：把 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列与第 $j$ 列对换（$c_i\leftrightarrow c_j$）。

（2）以数 $k\ne 0$ 乘某一行中的所有元

以数 $k\ne 0$ 乘单位矩阵的第 $i$ 行（或第 $i$ 列），得到初等矩阵
E ( i ( k ) ) = ( 1 ⋱ 1 k 1 ⋱ 1 ) \boldsymbol{E}(i(k)) =

E(i(k))= ​1​⋱​1​k​1​⋱​1​ ​
可以验知：

• 以 $E_m(i(k))$ 左乘矩阵 $\mathbf{A}$，其结果相当于以数 $k$ 乘 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 行（$r_i\times k$）；
• 以 $E_n(i(k))$ 右乘矩阵 $\mathbf{A}$，其结果相当于以数 $k$ 乘 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列（$c_i\times k$）。

（3）把某一行所有元的 $k$ 倍加到另一行对应的元上去

以 $k$ 乘单位矩阵的第 $j$ 行加到第 $i$ 行上或以 $k$ 乘单位矩阵的第 $i$ 列加到第 $j$ 列上，得初等矩阵
E ( i j ( k ) ) = ( 1 ⋱ 1 ⋯ k ⋱ ⋮ 1 ⋱ 1 ) \boldsymbol{E}(ij(k)) =

E(ij(k))= ​1​⋱​1​⋯⋱​k⋮1​⋱​1​ ​
可以验知：

• 以 ${\mathbf{E}}_m(ij(k))$ 左乘矩阵 $\mathbf{A}$，其结果相当于把 $\mathbf{A}$ 的第 $j$ 行乘 $k$ 加到第 $i$ 行上（$r_i+k{r}_j$）；
• 以 ${\mathbf{E}}_m(ij(k))$ 右乘矩阵 $\mathbf{A}$，其结果相当于把 $\mathbf{A}$ 的第 $i$ 列乘 $k$ 加到第 $j$ 列上（$c_j+k{c}_i$）。

根据以上讨论，得到性质如下：

性质 1　设 $\mathbf{A}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，对 $\mathbf{A}$ 施行一次初等行变换，相当于在 $\mathbf{A}$ 的左边乘相应的 $m$ 阶初等矩阵；对 $\mathbf{A}$ 施行一次初等列变换，相当于在 $\mathbf{A}$ 的右边乘相应的 $n$ 阶初等矩阵。

观察上述初等矩阵，显然有

性质 2　初等矩阵都是可逆的，且其可逆矩阵是同一类型的初等矩阵。具体地：

• $\mathbf{E}(i,j{)}^{-1}=\mathbf{E}(i,j)$；
• $\mathbf{E}(i(k){)}^{-1}=\mathbf{E}(i(\frac{1}{k}))$；
• $\mathbf{E}(ij(k){)}^{-1}=\mathbf{E}(ij(-k))$。

根据以上性质，我们得到定理和证明如下：

定理　设 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 为 $m \times n $ 矩阵，那么

1. $\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{B}$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使 $\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{B}$；
2. $\mathbf{A}\stackrel{c}{\sim }\mathbf{B}$ 的充分必要条件是存在 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{Q}$，使 $\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$；
3. $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{Q}$，使 $\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{B}$。

证明　这里证明第 1 条，类似可证明第 2 条和第 3 条。

根据前置定义 1，可知：$\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{B}$；等价于矩阵 $\mathbf{A}$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $\mathbf{B}$。

根据性质 1，可知：矩阵 $\mathbf{A}$ 经有限次初等行变换变成矩阵 $\mathbf{B}$；等价于矩阵 $\mathbf{A}$ 左乘有限个 $m$ 阶初等矩阵可以得到 $\mathbf{B}$；即存在有限个 $m$ 阶初等矩阵 ${\mathbf{P}}_1,{\mathbf{P}}_2,\cdots ,{\mathbf{P}}_l$，使得 ${\mathbf{P}}_l\cdots {\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1\mathbf{A}=\mathbf{B}$。

因为初等矩阵都是可逆矩阵，根据前置定理 2，可知：存在有限个 $m$ 阶初等矩阵 ${\mathbf{P}}_1,{\mathbf{P}}_2,\cdots ,{\mathbf{P}}_l$，使得 ${\mathbf{P}}_l\cdots {\mathbf{P}}_2{\mathbf{P}}_1\mathbf{A}=\mathbf{B}$；等价于存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使得 $\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{B}$。

综上所述，得到 $\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{B}$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使 $\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{B}$。得证。

上述定理表明，如果 $\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{B}$ 则有可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使 $\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{B}$。下面讨论如何求得这个可逆矩阵 $\mathbf{P}$。

由于 P A ⇔ { P A = B P E = P ⇔ P ( A , E ) = ( B , P ) ⇔ ( A , E ) ∼ r ( B , P ) \boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \Leftrightarrow

\Leftrightarrow \boldsymbol{P} (\boldsymbol{A}, \boldsymbol{E}) = (\boldsymbol{B}, \boldsymbol{P}) \Leftrightarrow (\boldsymbol{A},\boldsymbol{E}) \stackrel{r}{\sim} (\boldsymbol{B},\boldsymbol{P}) PA⇔{PA=BPE=P​⇔P(A,E)=(B,P)⇔(A,E)∼r(B,P)。因此，如果对矩阵 $(\mathbf{A},\mathbf{E})$ 作初等行变换，那么当把 $\mathbf{A}$ 变成 $\mathbf{B}$ 时，$\mathbf{E}$ 就变成了$\mathbf{P}$。于是就得到所求的可逆矩阵 $\mathbf{P}$。