矩阵初等变换与方阵可逆的条件

前置知识：

• 【定义】逆矩阵
• 逆矩阵的性质
• 【定义】行阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形
• 矩阵初等变换与矩阵乘法的联系

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前置定理 1　初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵。

证明见 “矩阵初等变换与矩阵乘法的联系”。

前置定理 2　有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。

证明　不妨设 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 均可逆，则有 $(\mathbf{A}\mathbf{B})(\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{-1}=(\mathbf{A}\mathbf{B})({\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1})=\mathbf{E}$，即 $\mathbf{A}\mathbf{B}$ 可逆。以此类推，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆。得证。

前置性质 3　设 $\mathbf{A}$ 是一个 $m\times n$ 矩阵，对 $\mathbf{A}$ 施行一次初等行变换，相当于在 $\mathbf{A}$ 的左边乘相应的 $m$ 阶初等矩阵；对 $\mathbf{A}$ 施行一次初等列变换，相当于在 $\mathbf{A}$ 的右边乘相应的 $n$ 阶初等矩阵。

证明见 “矩阵初等变换与矩阵乘法的联系”。

前置定理 4　若矩阵 $\mathbf{A}$ 可逆，则 $|\mathbf{A}|\ne 0$。

证明见 “逆矩阵的性质”。

前置定义 5（行最简形矩阵）　若行阶梯形矩阵满足：

1. 非零行的首非零元为 $1$；
2. 首非零元所在的列的其他元均为 $0$

则称此矩阵为 行最简形矩阵。

说明见 “【定义】行阶梯形矩阵、行最简形矩阵和标准形”。

前置定理 6　初等矩阵都是可逆的，且其可逆矩阵是同一类型的初等矩阵。

证明见 “矩阵初等变换与矩阵乘法的联系”。

前置定义 7　对于 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$，如果有一个 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{B}$，使
$$\mathbf{A}\mathbf{B}=\mathbf{B}\mathbf{A}=\mathbf{E}$$
则说矩阵 $\mathbf{A}$ 是 可逆 的，并把矩阵 $\mathbf{B}$ 称为矩阵 $\mathbf{A}$ 的 逆矩阵，简称 逆阵。

说明见 “【定义】逆矩阵”。

前置定理 8　设 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 为 $m \times n $ 矩阵，那么：$\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{B}$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使 $\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{B}$。

证明见 “矩阵初等变换与矩阵乘法的联系”。

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首先，为讨论方阵可逆时的非零行数，有引理及证明如下：

引理 1　若 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 可逆，则 $\mathbf{A}$ 的非零行数为 $n$。

证明　设 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 可逆，根据前置定理 4 可知，$|\mathbf{A}|\ne 0$。

使用反证法，设 $\mathbf{A}$ 中存在第 $i$ 行，该行所有元素均为 $0$；将行列式 $|\mathbf{A}|$ 按该行展开，则有行列式 $|\mathbf{A}|=0$，与 $|\mathbf{A}|\ne 0$ 冲突。因此，$\mathbf{A}$ 中的非零行数为 $n$。

引入矩阵的初等变换，有性质及证明如下：

性质 1　方阵 $\mathbf{A}$ 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 ${\mathbf{P}}_1,{\mathbf{P}}_2,\cdots ,{\mathbf{P}}_l$，使得 $\mathbf{A}={\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\cdots {\mathbf{P}}_l$。

证明　先证充分性。设 $\mathbf{A}={\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\cdots {\mathbf{P}}_l$，因为初等矩阵都是可逆的（前置定理 1），又因为有限个可逆矩阵的乘积仍可逆（前置定理 2），所以 $\mathbf{A}$ 是可逆的。

再证必要性。设 $n$ 阶方阵 $\mathbf{A}$ 可逆，它经过有限次初等行变换成为行最简形矩阵 $\mathbf{B}$。由前置性质 3 可知有初等矩阵 ${\mathbf{Q}}_1,{\mathbf{Q}}_2,\cdots ,{\mathbf{Q}}_{\mathbf{l}}$ 使
$${\mathbf{Q}}_1{\mathbf{Q}}_2\cdots {\mathbf{Q}}_{\mathbf{l}}\mathbf{A}=\mathbf{B}$$
因为初等矩阵都是可逆的（前置定理 1），又因为 $\mathbf{A}$ 可逆，再因为有限个可逆矩阵的乘积仍可逆（前置定理 2），所以 $\mathbf{B}$ 是可逆的，从而 $\mathbf{B}$ 的非零行数为 $n$（引理 1）。因为 $\mathbf{B}$ 是行最简形矩阵矩阵，所以 $\mathbf{B}$ 有 $n$ 个首非零元 $1$，且首非零元所在的列的其他元均为 $0$（前置定义 5），但 $\mathbf{B}$ 只有 $n$ 个列，所以 $\mathbf{B}=\mathbf{E}$。于是
$$\mathbf{A}={\mathbf{Q}}_1^{-1}{\mathbf{Q}}_2^{-1}\cdots {{\mathbf{Q}}_{\mathbf{l}}}^{-1}\mathbf{B}={\mathbf{Q}}_1^{-1}{\mathbf{Q}}_2^{-1}\cdots {{\mathbf{Q}}_{\mathbf{l}}}^{-1}\mathbf{E}={\mathbf{Q}}_1^{-1}{\mathbf{Q}}_2^{-1}\cdots {{\mathbf{Q}}_{\mathbf{l}}}^{-1}={\mathbf{P}}_1{\mathbf{P}}_2\cdots {\mathbf{P}}_l$$
其中 ${\mathbf{P}}_i={\mathbf{Q}}_i^{-1}$ 为初等矩阵（前置定理 6），即 $\mathbf{A}$ 是若干个初等矩阵的乘积。

根据性质 1，有推论和证明如下：

推论 1　方阵 $\mathbf{A}$ 可逆的充分必要条件是 $\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{E}$。

证明　方阵 $\mathbf{A}$ 可逆，等价于：存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使 $\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{E}$。（前置定义 7）

存在可逆矩阵 $\mathbf{P}$，使 $\mathbf{P}\mathbf{A}=\mathbf{E}$，等价于 $\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{E}$。（前置定理 8）

综上所述，方阵 $\mathbf{A}$ 可逆的充分必要条件是 $\mathbf{A}\stackrel{r}{\sim }\mathbf{E}$。得证。