数据结构(十一) -- 树(三) -- 堆排序

1. 堆排序基本介绍

1. 堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。

2. 堆是具有以下性质的完全二叉树：

   1. 每个节点的值都大于或等于起左右孩子节点的值，成为大顶堆。注意：没有要求节点的左孩子和右孩子的值的大小关系
   2. 每个节点的值都小于或等于其左右孩子节点的值，成为小顶堆

3. 大顶堆举例说明：
   

4. 小顶堆举例说明：
   

5. 一般升序使用大顶堆，降序采用小顶堆

2. 堆排序的基本思想：

1. 将待排序序列构造成一个大顶堆（大顶堆是构建成一个数组，并没有构建出一个真正的树，把树是以数组的形式存放的，然后将数组以大顶堆和小顶堆的遍历方式来进行遍历）
2. 此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点
3. 将其与末尾元素进行交换，此时末尾就是最大值
4. 然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样就会得到n个元素的次小值，如此反复，直到得到一个有序队列。

3. 堆排序步骤图解：

要求：
给定一个数组：{4,6,8,5,9}，要求使用堆排序方式，将数组升序排序。

3.1 步骤一：构建初始堆，将给定无序序列构造成一个大顶堆

1. 假设给定的无序序列结构如下：
   

2. 此时我们从最后一个非叶子节点开始（叶节点自然不用调整，第一个非叶子节点arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6节点），从左到右，从上到下进行调整。
   

3. 找到第二个非叶子节点，由于4,9,8中9元素最大，4和9交换
   

4. 这时，交换导致了子根4,5,6结构混乱，继续调整，4,5,6中6最大，交换4和6
   

5. 此时，我们就将一个无序序列结构构造成了一个大顶堆

3.2 步骤二：将堆顶元素和末尾元素进行交换，使末尾元素最大，然后继续调整堆，再将堆顶元素和末尾元素交换，得到第二大元素，以此直到完成。

1. 将堆顶元素和末尾元素4进行交换：
   

2. 重新调整结构，使其继续满足堆定义
   

3. 再将堆顶元素8和末尾元素5进行交换，得到第二大元素8
   

4. 后序过程，继续调整交换，直到有序。
   

4. 总结堆排序基本思路：

1. 将无序序列构建成一个堆，根据升序降序要求选择大顶堆还是小顶堆
2. 将堆顶元素和末尾元素交换，将最大元素沉到数组末端
3. 重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素和当前末尾元素，反复执行，直到使整个序列有序。

5. 代码实现：

public class HeapSort {
	public static void main(String[] args) {
		//要求将数组进行升序排序
		//int arr[] = {3, 7, 8, 10, 5, 13,2,7,4,15,9};
		// 创建要给80000个的随机的数组
		int[] arr = new int[8000000];
		for (int i = 0; i < 8000000; i++) {
			arr[i] = (int) (Math.random() * 8000000); // 生成一个[0, 8000000) 数
		}

		System.out.println("排序前");
		Date data1 = new Date();
		SimpleDateFormat simpleDateFormat = new SimpleDateFormat("yyyy-MM-dd HH:mm:ss");
		String date1Str = simpleDateFormat.format(data1);
		System.out.println("排序前的时间是=" + date1Str);

		heapSort(arr);

		Date data2 = new Date();
		String date2Str = simpleDateFormat.format(data2);
		System.out.println("排序前的时间是=" + date2Str);
		//System.out.println("排序后=" + Arrays.toString(arr));
	}

	//编写一个堆排序的方法
	public static void heapSort(int arr[]) {
		int temp = 0;
		System.out.println("堆排序!!");

//		//分步完成
		//第一次调整
//		adjustHeap(arr, 1, arr.length);
//		System.out.println("第一次" + Arrays.toString(arr)); // 4, 9, 8, 5, 6
//
		// 第二次调整
//		adjustHeap(arr, 0, arr.length);
//		System.out.println("第2次" + Arrays.toString(arr)); // 9,6,8,5,4

		//完成我们最终代码
		//将无序序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆
		for(int i = arr.length / 2 -1; i >=0; i--) {
			adjustHeap(arr, i, arr.length);
		}
		
		/*
		 * 2).将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;
　　			3).重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。
		 */
		for(int j = arr.length-1;j >0; j--) {
			//交换
			temp = arr[j];
			arr[j] = arr[0];
			arr[0] = temp;
			adjustHeap(arr, 0, j);
		}

		//System.out.println("数组=" + Arrays.toString(arr)); 
	}

	//将一个数组(二叉树), 调整成一个大顶堆
	/**
	 * 功能： 完成 将 以 i 对应的非叶子结点的树调整成大顶堆
	 * 举例  int arr[] = {4, 6, 8, 5, 9}; => i = 1 => adjustHeap => 得到 {4, 9, 8, 5, 6}
	 * 如果我们再次调用  adjustHeap 传入的是 i = 0 => 得到 {4, 9, 8, 5, 6} => {9,6,8,5, 4}
	 * @param arr 待调整的数组
	 * @param i 表示非叶子结点在数组中索引
	 * @param lenght 表示对多少个元素继续调整， length 是在逐渐的减少
	 */
	public  static void adjustHeap(int arr[], int i, int lenght) {

		int temp = arr[i];//先取出当前元素的值，保存在临时变量
		//开始调整
		//说明
		//1. k = i * 2 + 1 k 是 i结点的左子结点
		for(int k = i * 2 + 1; k < lenght; k = k * 2 + 1) {
			if(k+1 < lenght && arr[k] < arr[k+1]) { //说明左子结点的值小于右子结点的值
				k++; // k 指向右子结点
			}
			if(arr[k] > temp) { //如果子结点大于父结点
				arr[i] = arr[k]; //把较大的值赋给当前结点
				i = k; //!!! i 指向 k,继续循环比较
			} else {
				break;//!
			}
		}
		//当for 循环结束后，我们已经将以i 为父结点的树的最大值，放在了 最顶(局部)
		arr[i] = temp;//将temp值放到调整后的位置
		// System.out.println(Arrays.toString(arr));
	}
}
1
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6. 自己测试，及过程详解

以数列{3,7,8,10,5,13,2,7,4,15,9}为例：

1. 第一个for循环做的事情：

for(int i = arr.length / 2 -1; i >=0; i--) {
	adjustHeap(arr, i, arr.length);
}
1
2
3

2. 进入第二个for循环，将当前数组第一个元素，放到数组的最后，并重新进行大顶堆的调整。此时因为第一轮的时候，大顶堆已经基本构造完成（即保证了父节点一定是大于子节点的，也就是此时不考虑第一层的节点，第二层的两个节点一定是第二和第三大的数据），所以只需要对i=0即前三个数据进行处理。

for(int j = arr.length-1;j >0; j--) {
	//交换
	temp = arr[j];
	arr[j] = arr[0];
	arr[0] = temp;
	adjustHeap(arr, 0, j);
}
1
2
3
4
5
6
7

3. 循环处理，略
4. 输出的结果：从结果也映照了我们之前画的树的结果：

堆排序!!
[3, 7, 8, 10, 15, 13, 2, 7, 4, 5, 9]
[3, 7, 8, 10, 15, 13, 2, 7, 4, 5, 9]
[3, 7, 13, 10, 15, 8, 2, 7, 4, 5, 9]
[3, 15, 13, 10, 9, 8, 2, 7, 4, 5, 7]
[15, 10, 13, 7, 9, 8, 2, 3, 4, 5, 7]
[13, 10, 8, 7, 9, 7, 2, 3, 4, 5, 15]
[10, 9, 8, 7, 5, 7, 2, 3, 4, 13, 15]
[9, 7, 8, 4, 5, 7, 2, 3, 10, 13, 15]
[8, 7, 7, 4, 5, 3, 2, 9, 10, 13, 15]
[7, 5, 7, 4, 2, 3, 8, 9, 10, 13, 15]
[7, 5, 3, 4, 2, 7, 8, 9, 10, 13, 15]
[5, 4, 3, 2, 7, 7, 8, 9, 10, 13, 15]
[4, 2, 3, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 13, 15]
[3, 2, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 13, 15]
[2, 3, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 13, 15]
排序后=[2, 3, 4, 5, 7, 7, 8, 9, 10, 13, 15]
1
2
3
4
5
6
7
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9
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16
17

7. 性能分析

1. 在构建最大堆的时候，最多需要2N次比较和交换
2. 堆排序最多需要2NlgN次比较和交换操作

7.1 优点：

堆排序最显著的优点是，他是就地排序，并且其最坏情况下时间复杂度为NlogN。经典的合并排序不是就地排序，它需要线性长度的额外空间，而快速排序其最坏时间复杂度为N^2

7.2 缺点：

堆排序对时间和空间都进行了优化，但是：

1. 其内部循环要比快速排序要长。
2. 并且其操作在N和N/2之间进行比较和交换，当数组长度比较大的时候，对CPU缓存利用效率比较低。
3. 非稳定性排序