微分方程和线性代数（先理解一阶微分形式不变性）

可分离变量方程其实会让人有一个疑惑，为什么两边直接积分可以相等。

首先我们要理解一阶微分形式不变性。核心参考：微分形式不变性的理解，以及关于对微分的各种理解的讨论 - 知乎

 

 这里可以简化理解成微分是一个线性映射。

 确实隐藏变量的写法不是很直观。一般来说如果隐藏了变量，那么左右两边应该都是映射才行。

也就是dz = adx + bdy

而dz(a,b) = 2a + 3b，那么就是这个函数的具体映射内容了。我认为，如果右边是2a+3b这样的形式，那么括号中的内容是不可忽略的。

 然后我们来理解下这一段，g:g(x,y) = x 所以这里的是g映射的具体内容。

dg :dg(德尔塔x,德尔塔y) = 德尔塔x。我们把映射g也叫做x，所以就是

所以,1a',1b'其实可以直接看成两边的映射相等。

我认为这么理解更加清晰。我可以认为dz = 2dx + 3dy和 dz(a,b) = 2a + 3b从某个角度来讲是等价的，只需要引入新的映射dx, dy. 那么dz = 2dx + 3dy 他们作用于共同的未知数肯定也是等价。

那么就是dz(a,b) = 2dx(a,b) + 3dy(a,b)

这样理解似乎更加清晰。

当然，我们可以感受到映射的加减并不那么简单，和算数加减会有区别，我们继续看后面的内容来体会这样的区别。

 其实这里更符合我们的前面的说法，就是一种线性映射，可以有不同的基。

接下来我们好好理解为什么是“不变性“

 这个例子我不太能理解不变性的具体体现。一般认为：我是你的爸爸，如果你当爸爸了，那么你还是我的儿子。这样的不变性我可能好理解一些。

这个就是我说的更好理解的例子，我们通过换元，还是能够维持住原来的微分式子的形式。不过我们现在都知道了，这些不变性的背后，其实是有更本质的原因的。并没有看上去的那么显然。

 这里倒是有些不同，前面我们理解的是映射之间的相等，但这里的链式法则，未知数并不一样，有t和x两个未知数，所以，还是从导数的角度去理解，但这样还有个除法的理解，不建议这么理解，会有歪打正着的感觉，而且对于多元函数也不成立。

 这一段要多读几遍。含义不同的微分符号拥有相同的形式，形式相同的微分符号可能有不同的含义。所以我们在移项，或者换元的时候，其实我们在不自觉的使用各种背后的定理，这些定理保证了移项和换元后的等式（形式）依然正确！

妙不可言。

好了，现在我们就看看背后的三个最重要的定理。

 链式法则很重要，然后有两个推论：反函数定理和隐函数定理。

 线性代数中经常要接触的，这里的f和x都是向量，f表示(f1,f2,....fn)向量是(x1,x2,...xn)

所以这个函数的基本过程是

(x1,x2....xn)

新的x1 = df1(x1)/dx1 + df1(x2)/dx2 + ......df1(xn)/dxn

......

 好，关键的来了，用链式法则来推导变量替换。

 这里其实直接用线性映射的角度理解就好了。

df=f'(x)dg。这是可以直接理解并得出的。

 然后我们从链式法则的式子出发，根据df=f'(x)dg 可以推出

dh = f'(x)dphi

也就是说，本来我们是一个df=f'(x)dg的式子，但是我们通过变量替换，让x = phi(t)带入，

可以得到dh = f'(x)dphi,

 而f'(x)在两边的含义是一样的，在第一个里面，f'(x)表示的是集合z对y的微分，在第二个里面也是一样的。

也就是说，对于任意一个dy=f'(x)dx，我们可以对y和x进行任意的换元，然后根据链式法则，可以推导出这个式子依然成立。

再去看前面那个换元的例子：

 加深下感觉。

然后是反函数定理：

 假定g和f互为可逆映射，那么g复合f就是恒等映射。

 所以他求导就是一个单位矩阵，假定是一阶一元，那么就是1.所以1 = 两个互为逆映射的求导的乘积。所以就是反函数定理。

这个过程还是理解成线性映射过程会更好些。

 这个解方程其实并不好理解，我们还是从原来的反函数定理去理解。

 首先，我们已经知道了f的导数，根据雅克比矩阵，

所以，我们只要求出它的逆矩阵，那么就是反函数的导数，求逆矩阵，其实就是方程的肖元法的过程。

 又理解了一点了。

如何通俗理解全微分 - 知乎

先看全微分的概念。

再看隐函数的理解：

应该怎么理解隐函数定理？ - 知乎

 再看原文：

太妙了对不对。

移项的来了！

 我们得到了矩阵[b1 b2] = -1/a3[a1 a2]

也就是b1 = -a1/a3  b2 = -a2/a3

所以我们可以发现，移项的结果就是这个！太棒了

 

 酣畅淋漓，达到高潮。

终于，我们回到原始问题：为什么分离变量后可以直接分别积分：

因为可以移项，所以我们可以认为1/g(y) * dy/dx = f(x)， 两边都对dx进行积分

重点看左边。dy/dx可以写作y'(x), 所以就是y'(x)/g(y), 但现在是对x变量积分，所以要换元，y = y(x)

也就是：

然后根据链式法则，可以进行换元。

y'(x)dx = dy,而g(y(x)) = g(y)

完美。