• 高精度算法详解 [高精的四则运算与解析]

    高精度算法

    序言

    #1什么是高精度

    高精度算法，是一种处理大数字的数学计算方法。在一般的科学计算中，会经常算到小数点后几百位或者更多，当然也可能是几百亿的大数字。
    一般的，这类数字我们统称为高精度数，高精度算法是用计算机对于超大数据的一种模拟加，减，乘，除，乘方，阶乘等运算。
    对于非常庞大的数字无法在计算机中正常存储。于是，将这个数字拆开成一位一位的，或者是四位四位的存储到一个数组中， 用一个数组去表示一个数字，这样这个数字就被称为是高精度数。

    #2高精度的作用

    实际上高精度就是说参与运算的数据和运算结果的范围，超出标准数据类型能表示的数据大小范围的运算。
    这种时候，如果要得到正确的计算结果，就不能依靠普通方法实现了，而要在普通运算原理的基础上，加以辅助算法来实现超大数据的计算。
    例如：
    求两个 500 位的数据相乘的结果，这时就要用到高精度算法了。

    正文

    高精度中需要处理好的问题

    数据的接收和存贮

    当输入的数很长时，我们可以采用字符串方式输入，这样可输入数字很长的数，利用字符串函数和操作运算，将每一位数取出，存入数组中。

    字符数组储存与输入：

    void init(int a[])
{
	char s[1000];//通过字符数组的形式输入数字 
	
	gets(s);
	
	a[0]=strlen(s);//a[0]保存字符数组s的位数 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符数组转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

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    字符串输入和存储：

    void init(int a[])
{
	string s;//通过字符串的形式输入数字 
	
	getline(cin,s);//或cin>>s; 
	
	a[0]=s.size();//a[0]保存字符串s的位数 或s.length(); 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符串转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

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    高精度数位数的确定

    字符数组的长度：
    位数等于接收的字符数组的长度，为了节省空间和便于查找使用，将其保存在 a[0]中。a[0]=strlen(s);

    字符串的长度：
    位数等于接收的字符数串的长度，为了节省空间和便于查找使用，将其保存在 a[0]中。getline(cin,s);或cin>>s;

    高精度进位,借位的处理

    加法进位：

    void jia()
{
	c[i]=a[i]+b[i];//对应位相加 
	
	if(c[i]>=10)//进位了(和大于10) 
	{
		c[i+1]++;//向前进一位 
		
		c[i]%=10;//进位后剩下的数字 
	}
}

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    减法借位：

    void jian()
{
	if(a[i]<b[i])//不够减 
	{
		a[i+1]--;//向前借一位 
		
		a[i]+=10;//借位后加10	
	}
	
	c[i]=a[i]-b[i];//对应位相减	
} 

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    乘法进位：

    void cheng()
{
	c[i+j-1]=a[i]*b[j]+x+c[i+j-1];//对应位的值 
	
	x=c[i+j-1]/10;//进位数 
	
	c[i+j-1]%=10;//进位后剩下的数字 
}

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    商和余数的求法

    商和余数处理：视被除数和除数的位数情况进行处理。

    高精度的四则运算

    高精度加法：

    #include

using namespace std; 

int a[1000],b[1000],c[1000]; 

void init1(int a[])
{
	char s[1000];//通过字符数组的形式输入数字 
	
	gets(s);
	
	a[0]=strlen(s);//a[0]保存字符数组s的位数 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符数组转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

void init2(int a[])
{
	string s;//通过字符串的形式输入数字 
	
	getline(cin,s);//或cin>>s; 
	
	a[0]=s.size();//a[0]保存字符串s的位数 或s.length(); 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符串转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

void jiafa(int a[],int b[],int c[])
{
	int x=0;//暂存进位，从0开始  
	int i=1;//位数的下标 
	
	while(i<=a[0]||i<=b[0])
	{
		c[i]=a[i]+b[i]+x;//对应位相加+上一次的位数 
		
		x=c[i]/10;//进位 
		
		c[i]=c[i]%10;//进位后剩下的数字 
		
		i++;//模拟下一位 
	}
	
	c[i]=x;//最后的位数 
	c[0]=i;//将和c的位数统一保存在c[0]中 
}

void aa(int a[])//删除数组a的前导0 
{
	while(a[0]>=1&&a[a[0]]==0)
	{
		a[0]--;	
	}	
} 

int main()
{
	init1(a);
	init1(b);//输入	
	
	aa(a);
	aa(b);//删除前导0
	
	jiafa(a,b,c);//a+b=c
	
	aa(c);//删除c的前导0
	
	for(int i=c[0];i>=1;i--)
	{
		cout<<c[i];//输出每一位	
	} 
} 

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    注意： 两个数相加，结果的位数，应该比两个数中大的那个数多一位。

    高精度减法：

    #include

using namespace std; 

int a[1000],b[1000],c[1000]; 

void init1(int a[])
{
	char s[1000];//通过字符数组的形式输入数字 
	
	gets(s);
	
	a[0]=strlen(s);//a[0]保存字符数组s的位数 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符数组转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

void init2(int a[])
{
	string s;//通过字符串的形式输入数字 
	
	getline(cin,s);//或cin>>s; 
	
	a[0]=s.size();//a[0]保存字符串s的位数 或s.length(); 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符串转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

void jianfa(int a[],int b[],int c[])
{
	int i=1;//位数的下标 
	
	while(i<=a[0])
	{
		if(a[i]<b[i])
		{
			a[i+1]--;//借位 
			
			a[i]+=10;
		}
		
		c[i]=a[i]-b[i];
		
		i++;
	}
	
	c[0]=i;//将差c的位数保存在c[0]中 
}

void aa(int a[])//删除数组a的前导0 
{
	while(a[0]>=1&&a[a[0]]==0)
	{
		a[0]--;	
	}	
} 

int main()
{
	init1(a);
	init1(b);//输入
	
	jianfa(a,b,c);//a-b=c
	
	aa(c);//删除c的前导0
	
	for(int i=c[0];i>=1;i--)
	{
		cout<<c[i];//输出每一位	
	} 
} 

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    高精度乘法：

    #include

using namespace std; 

int a[1000],b[1000],c[1000]; 

void init1(int a[])
{
	char s[1000];//通过字符数组的形式输入数字 
	
	gets(s);
	
	a[0]=strlen(s);//a[0]保存字符数组s的位数 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符数组转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

void init2(int a[])
{
	string s;//通过字符串的形式输入数字 
	
	getline(cin,s);//或cin>>s; 
	
	a[0]=s.size();//a[0]保存字符串s的位数 或s.length(); 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符串转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

void chengfa(int a[],int b[],int c[])
{
	for(int i=1;i<=b[0];i++)
	{
		int x=0;//暂存进位，开始为0 
		
		for(int j=1;j<=a[0];j++)
		{
			c[i+j-1]=c[i+j-1]+x+b[i]*a[j];//原数+上一次进的位数+当前的乘积 
			
			x=c[i+j-1]/10;//进位 
			
			c[i+j-1]%=10;//进位后的结果 
		}
		
		c[a[0]+i]=x;//每次向前进一位 
	}
	
	c[0]=a[0]+b[0];//乘积c最多的位数 
}

void aa(int a[])//删除数组a的前导0 
{
	while(a[0]>=1&&a[a[0]]==0)
	{
		a[0]--;	
	}	
} 

int main()
{
	init1(a);
	init1(b);//输入	
	
	chengfa(a,b,c);//a*b=c
	
	aa(c);//删除c的前导0
	
	for(int i=c[0];i>=1;i--)
	{
		cout<<c[i];//输出每一位	
	} 
} 

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    高精度除法：

    高精除以低精：

    #include

using namespace std; 

int a[1000],b[1000],c[1000]; 

//int b; 

void init1(int a[])
{
	char s[1000];//通过字符数组的形式输入数字 
	
	gets(s);
	
	a[0]=strlen(s);//a[0]保存字符数组s的位数 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符数组转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

void init2(int a[])
{
	string s;//通过字符串的形式输入数字 
	
	getline(cin,s);//或cin>>s; 
	
	a[0]=s.size();//a[0]保存字符串s的位数 或s.length(); 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符串转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

void chudi(int a[],int b,int c[])
{
	int t=0;
	
	int x=0;//余数
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)//模拟除法 
	{
		t=x*10+a[i];
		
		c[i]=t/b;//商 
		
		x=t%b;//每次相除后的余数	
	} 
}

int main()
{
	init1(a);
	cin>>b;//输入
	
	chudi(a,b,c);//a/b=c
	
	int k=1;//商的下标 
	
	while(c[k]==0&&k<=a[0])
	{
		k++;//删除前导0 
	} 
	
	for(int i=k;i<=a[0];i++)
	{
		cout<<c[i];//输出每一位 
	}
} 

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    高精除以高精：

    #include

using namespace std; 

int a[1000],b[1000],c[1000]; 

int B;//为除以低精 

void init1(int a[])
{
	char s[1000];//通过字符数组的形式输入数字 
	
	gets(s);
	
	a[0]=strlen(s);//a[0]保存字符数组s的位数 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符数组转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

void init2(int a[])
{
	string s;//通过字符串的形式输入数字 
	
	getline(cin,s);//或cin>>s; 
	
	a[0]=s.size();//a[0]保存字符串s的位数 或s.length(); 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符串转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

int com(int a[],int b[])//比较a,b;若a>b为1;若a
{
	if(a[0]>b[0])
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		if(a[0]<b[0])
		{
			return -1;
		}
		else
		{
			if(a[0]==b[0])
			{
				for(int i=a[0];i>0;i--)
				{
					if(a[i]>b[i])
					{
						return 1;
					}
					
					if(a[i]<b[i])
					{
						return -1;	
					} 
					
					if(a[i]==b[i])
					{
						continue;
					}
				}
			}
		}
	}
	
	return 0;
} 

void jian2(int a[],int b[])//计算a=a-b 
{
	int flag=com(a,b);
	
	if(flag==0)//a=b
	{
		a[0]=0;
		
		return ;
	}
	
	if(flag==1)//a>b
	{
		for(int i=1;i<=a[0];i++)//模拟减法 
		{
			if(a[i]<b[i])//若不够减 
			{
				a[i+1]--;//向上借一位 
				
				a[i]+=10;
			}
			
			a[i]-=b[i];
		}
		
		while(a[0]>0&&a[a[0]]==0)//删除前导0 
		{
			a[0]--;
		}
		
		return ;
	}
}

void chugao(int a[],int b[],int c[])//高精除高精 
{
	int t[1000];
	
	c[0]=a[0]-b[0]+1;//商最多的位数
	
	for(int i=c[0];i>0;i--)//模拟除法 
	{
		memset(t,0,sizeof(t));//每次清空
		
		for(int j=1;j<=b[0];j++)//把数组b复制给t 
		{
			t[i+j-1]=b[j];//下标右偏移i-1位 
		} 
		
		t[0]=b[0]+i-1;//位数
		
		while(com(a,t)>=0)
		{
			c[i]++;//商加1 
			
			jian2(a,t);//模拟减法(a=a-t) 
		} 
	} 
}

void print(int a[])
{
	while(a[0]>0&&a[a[0]]==0)//删除前导0 
	{
	 	a[0]--;//位数-1 
	}
		
	if(a[0]==0)//结果为0 
	{
		cout<<0<<endl;
	}
	else//结果不为0 
	{
		for(int i=a[0];i>=1;i--)
		{
			cout<<a[i];
		}
			
		cout<<endl;
	}
} 

int main()
{
	init1(a);
	init1(b);//输入
	
	chugao(a,b,c);
	
	print(c);//输出商
	print(a);//输出余数
}

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    高精度四则运算完整代码（含进位借位）：

    #include

using namespace std; 

int a[1000],b[1000],c[1000]; 

int B;//为除以低精 

void init1(int a[])
{
	char s[1000];//通过字符数组的形式输入数字 
	
	gets(s);
	
	a[0]=strlen(s);//a[0]保存字符数组s的位数 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符数组转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

void init2(int a[])
{
	string s;//通过字符串的形式输入数字 
	
	getline(cin,s);//或cin>>s; 
	
	a[0]=s.size();//a[0]保存字符串s的位数 或s.length(); 
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)
	{
		a[i]=s[a[0]-i]-'0';//将字符串转换为整形数组，并逆序储存 
	}
}

/*void jia()
{
	c[i]=a[i]+b[i];//对应位相加 
	
	if(c[i]>=10)//进位了(和大于10) 
	{
		c[i+1]++;//向前进一位 
		
		c[i]%=10;//进位后剩下的数字 
	}
}*/

/*void jian()
{
	if(a[i]

/*void cheng()
{
	c[i+j-1]=a[i]*b[j]+x+c[i+j-1];//对应位的值 
	
	x=c[i+j-1]/10;//进位数 
	
	c[i+j-1]%=10;//进位后剩下的数字 
}*/

void chengfa(int a[],int b[],int c[])
{
	for(int i=1;i<=b[0];i++)
	{
		int x=0;//暂存进位，开始为0 
		
		for(int j=1;j<=a[0];j++)
		{
			c[i+j-1]=c[i+j-1]+x+b[i]*a[j];//原数+上一次进的位数+当前的乘积 
			
			x=c[i+j-1]/10;//进位 
			
			c[i+j-1]%=10;//进位后的结果 
		}
		
		c[a[0]+i]=x;//每次向前进一位 
	}
	
	c[0]=a[0]+b[0];//乘积c最多的位数 
}

void chudi(int a[],int b,int c[])
{
	int t=0;
	
	int x=0;//余数
	
	for(int i=1;i<=a[0];i++)//模拟除法 
	{
		t=x*10+a[i];
		
		c[i]=t/b;//商 
		
		x=t%b;//每次相除后的余数	
	} 
}

void jiafa(int a[],int b[],int c[])
{
	int x=0;//暂存进位，从0开始  
	int i=1;//位数的下标 
	
	while(i<=a[0]||i<=b[0])
	{
		c[i]=a[i]+b[i]+x;//对应位相加+上一次的位数 
		
		x=c[i]/10;//进位 
		
		c[i]=c[i]%10;//进位后剩下的数字 
		
		i++;//模拟下一位 
	}
	
	c[i]=x;//最后的位数 
	c[0]=i;//将和c的位数统一保存在c[0]中 
}

void jianfa(int a[],int b[],int c[])
{
	int i=1;//位数的下标 
	
	while(i<=a[0])
	{
		if(a[i]<b[i])
		{
			a[i+1]--;//借位 
			
			a[i]+=10;
		}
		
		c[i]=a[i]-b[i];
		
		i++;
	}
	
	c[0]=i;//将差c的位数保存在c[0]中 
}

int com(int a[],int b[])//比较a,b;若a>b为1;若a
{
	if(a[0]>b[0])
	{
		return 1;
	}
	else
	{
		if(a[0]<b[0])
		{
			return -1;
		}
		else
		{
			if(a[0]==b[0])
			{
				for(int i=a[0];i>0;i--)
				{
					if(a[i]>b[i])
					{
						return 1;
					}
					
					if(a[i]<b[i])
					{
						return -1;	
					} 
					
					if(a[i]==b[i])
					{
						continue;
					}
				}
			}
		}
	}
	
	return 0;
} 

void jian2(int a[],int b[])//计算a=a-b 
{
	int flag=com(a,b);
	
	if(flag==0)//a=b
	{
		a[0]=0;
		
		return ;
	}
	
	if(flag==1)//a>b
	{
		for(int i=1;i<=a[0];i++)//模拟减法 
		{
			if(a[i]<b[i])//若不够减 
			{
				a[i+1]--;//向上借一位 
				
				a[i]+=10;
			}
			
			a[i]-=b[i];
		}
		
		while(a[0]>0&&a[a[0]]==0)//删除前导0 
		{
			a[0]--;
		}
		
		return ;
	}
}

void chugao(int a[],int b[],int c[])//高精除高精 
{
	int t[1000];
	
	c[0]=a[0]-b[0]+1;//商最多的位数
	
	for(int i=c[0];i>0;i--)//模拟除法 
	{
		memset(t,0,sizeof(t));//每次清空
		
		for(int j=1;j<=b[0];j++)//把数组b复制给t 
		{
			t[i+j-1]=b[j];//下标右偏移i-1位 
		} 
		
		t[0]=b[0]+i-1;//位数
		
		while(com(a,t)>=0)
		{
			c[i]++;//商加1 
			
			jian2(a,t);//模拟减法(a=a-t) 
		} 
	} 
}

void aa(int a[])//删除数组a的前导0 
{
	while(a[0]>=1&&a[a[0]]==0)
	{
		a[0]--;	
	}	
} 

void print(int a[])
{
	while(a[0]>0&&a[a[0]]==0)//删除前导0 
	{
	 	a[0]--;//位数-1 
	}
		
	if(a[0]==0)//结果为0 
	{
		cout<<0<<endl;
	}
	else//结果不为0 
	{
		for(int i=a[0];i>=1;i--)
		{
			cout<<a[i];
		}
			
		cout<<endl;
	}
} 

int main()
{
	//------------加法-------------- 
	init1(a);
	init1(b);//输入	
	
	aa(a);
	aa(b);//删除前导0
	
	jiafa(a,b,c);//a+b=c
	
	aa(c);//删除c的前导0
	
	for(int i=c[0];i>=1;i--)
	{
		cout<<c[i];//输出每一位	
	} 
	
	//------------减法-------------- 
	init1(a);
	init1(b);//输入
	
	jianfa(a,b,c);//a-b=c
	
	aa(c);//删除c的前导0
	
	for(int i=c[0];i>=1;i--)
	{
		cout<<c[i];//输出每一位	
	} 
	
	//------------乘法-------------- 
	init1(a);
	init1(b);//输入	
	
	chengfa(a,b,c);//a*b=c
	
	aa(c);//删除c的前导0
	
	for(int i=c[0];i>=1;i--)
	{
		cout<<c[i];//输出每一位	
	} 
	
	//------------高精除以低精-------------- 
	init1(a);
	cin>>B;//输入
	
	chudi(a,B,c);//a/b=c
	
	int k=1;//商的下标 
	
	while(c[k]==0&&k<=a[0])
	{
		k++;//删除前导0 
	} 
	
	for(int i=k;i<=a[0];i++)
	{
		cout<<c[i];//输出每一位 
	}
	
	//------------高精除以高精--------------
	init1(a);
	init1(b);//输入
	
	chugao(a,b,c);
	
	print(c);//输出商
	print(a);//输出余数
	
	return 0; 
}

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    高精度经典例题

    [NOIP1998 普及组] 阶乘之和

    题目描述

    用高精度计算出 S = 1 ! + 2 ! + 3 ! + ⋯ + n ! S = 1! + 2! + 3! + \cdots + n! S=1!+2!+3!+⋯+n!（ n ≤ 50 n \le 50 n≤50）。

    其中 ! 表示阶乘，定义为 n ! = n × ( n − 1 ) × ( n − 2 ) × ⋯ × 1 n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times \cdots \times 1 n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×1。例如， 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120 5!=5×4×3×2×1=120。

    输入格式

    一个正整数 n n n。

    输出格式

    一个正整数 S S S，表示计算结果。

    样例输入 #1
    3

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    样例输出 #1
    9

    • 1
    提示

    【数据范围】

    对于 100 % 100 \% 100% 的数据， 1 ≤ n ≤ 50 1 \le n \le 50 1≤n≤50。

    分析

    该题是一道简单的高精度乘法与高精度加法的模板题，我们只需套进去就行了。

    例题代码
    #include

using namespace std; 

int n,a[1000],s[1000];

void cheng(int s)//高精度乘法 
{
	int x=0;
	
	for(int i=100;i>=0;i--)
	{
		a[i]=a[i]*s+x;
		
		x=a[i]/10;
		
		a[i]=a[i]%10;
	}
}

void jia()//高精度加法
{
	int x=0;
	
	for(int i=100;i>=0;i--)
	{
		s[i]=s[i]+a[i]+x;
		
		x=s[i]/10;
		
		s[i]=s[i]%10;
	}
}

int main()
{
	cin>>n;
	
	s[100]=a[100]=1;
	
	for(int i=2;i<=n;i++)//求阶乘 
	{
		cheng(i);
		
		jia();
	}
	
	int K;
	
	for(int i=0;i<=100;i++)
	{
		if(s[i]!=0)
		{
			K=i;
			
			break;
		}
	}
	
	for(int i=K;i<=100;i++)
	{ 
	   cout<<s[i];
	} 
	   
	return 0;
}

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/m0_66603329/article/details/126904138