剑指offer 44. 从1到n整数中1出现的次数

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题目描述

输入一个整数 n，求从 1 到 n 这 n 个整数的十进制表示中 1 出现的次数。

例如输入 12，从 1 到 12 这些整数中包含 “1” 的数字有 1，10，11 和 12，其中 “1” 一共出现了 5 次。

数据范围

1≤n≤10⁹

样例

输入： 12
输出： 5
1
2

方法一：数位DP O(logn)

如果按照暴力的做法，我们从 1~n 每个数都去算一遍 1 的个数，这个时间复杂度肯定会很高的，要是在面试的时候这么做估计就是出门右转的事情了 doge ~

所以这道题需要对上述操作进行优化，我们用到的方法是数位 DP ，先来看一个例子方便大家理解，假设 n = 13015 ，这时候就需要分情况进行讨论：

• 【万位的1】

  • 1 _ _ _ _ 中第一位取 1 ，则此时已经封顶，后四位只能取 0000 ~ 3015 ，故一共出现了 1 * 3016 = 3016 次。

• 【千位的1】

  • _ 1 _ _ _ 中第一位取 0 时，后三位可以取 000 ~ 999 ，故一共出现 1 * 1000 次。

  • 1 1 _ _ _ 中第一位封顶，则后三位可以取 000 ~ 999 ，故一共出现 1 * 1000 = 1000 次。

• 【百位的1】

  • _ _ 1 _ _ 中前两位范围是 00 ~ 12 ，则后两位可以取 00 ~ 99 ，故一共出现 13 * 100 = 1300 次。
  • 1 3 0 _ _ 中前两位封顶，则第三位最高只能取 0 且后两位范围是 00 ~ 15 ，故一共出现 16 次。

• 【十位的1】

  • _ _ _ 1 _ 中前三位范围是 000 ~ 129 ，则最后一位可以取 0 ~ 9 ，故一共出现 130 * 10 = 1300 次。
  • 1 3 0 1 _ 中前三位封顶且第四位发现可以取到 1 ，则最后一位可以取 0 ~ 5 共 6 次。

• 【个位的1】

  • _ _ _ _ 1 中前四位范围是 0000 ~ 1301 ，故一共出现 1 * 1302 = 1302 次。

通过上面这个例子，我们就可以得到下面这个结论：

假设给定 n = a b c d e f ，我们这里计算一下 c 这一位 1 出现的次数（其它位同理）。

（1）当前两位的范围是 00 ~ ab-1 时，后面三位可以取 000 ~ 999 ，故一共出现 ab * 1000 次。

（2）如果前两位封顶即取的就是 ab ，那么又要分三种情况，要看看给定的 n 的 c 的值是多少：

• 当 c = 0 时，一共出现 0 次。
• 当 c = 1 时，后三位可以取 000 ~ def ，故一共出现 def + 1 次。
• 当 c > 1 时，后三位可以取 000 ~ 999 ，故一共出现 1000 次。

综上所述，我们只用去拿到该位左边的所有数已经右边的所有数，然后根据上面的情况进行计算，每一位都是这样计算。

class Solution {
public:
    int numberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        if (!n)  return 0;
        
        vector<int> number; //用来存储每一位
        while (n)    number.push_back(n % 10), n /= 10;
        int ans = 0;
        
        //从最高位开始计算
        for (int i = number.size() - 1; i >= 0; i--)
        {
            int left = 0, right = 0, t = 1;
            //获得第i位左边的数
            for (int j = number.size() - 1; j > i; j--)  left = left * 10 + number[j];
            //获取第i为右边的数
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--) right = right * 10 + number[j], t *= 10;
            //计算左边的数在0~ab-1的那种情况
            ans += left * t;
            //计算左边的数等于ab的那种情况
            if (number[i] == 1)    ans += right + 1;
            else if (number[i] > 1)    ans += t;
        }
        return ans;
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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