【概率论基础进阶】随机变量的数字特征-随机变量的数学期望和方差

数学期望

离散型随机变量的数学期望

设随机变量$X$的概率分布为
P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , ⋯ P \left\{X=x_{k}\right\}=p_{k},k=1,2,\cdots P{X=xk​}=pk​,k=1,2,⋯
如果级数$\sum _{k=1}^{+\infty }{x}_k{p}_k$绝对收敛，则称为级数随机变量$X$的数学期望或均值，记作$E(X)$，即
$$E(X)=\sum _{k=1}^{+\infty }{x}_k{p}_k$$

连续型随机变量的数学期望

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)$，如果积分 ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x

∫−∞+∞​xf(x)dx​绝对收敛，则称此积分为随机变量$X$的数学期望或均值，记作$E(X)$，即
$$E(X)={\int }_{-\infty }^{+\infty }xf(x)dx$$

例1：设随机变量$X$的概率密度 f ( x ) = { x n n ! e − x x > 0 0 x ≤ 0 f(x)=\left\{

\right. f(x)=⎩ ⎨ ⎧​​n!xn​e−x0​x>0x≤0​，求$EX$

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx={\int }_0^{+\infty }\frac{x^n}{n!}{e}^{-x}dx=1\Rightarrow {\int }_0^{+\infty }{x}^n{e}^{-x}dx=n!$$

其实在二维均匀分布和二维正态分布也证明过 ∫ 0 + ∞ x n e − x = n !

∫0+∞xne−x=n!" role="presentation" style="position: relative;">∫+∞0xne−x=n!$$\begin{array}{r}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{x}^n{e}^{-x}=n!\end{array}$$

∫0+∞​xne−x=n!​

E X = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x = ∫ 0 + ∞ x ⋅ x n n ! e − x d x = 1 n ! ∫ 0 + ∞ x n + 1 e − x d x = ( n + 1 ) ! n ! = n + 1

EX=∫−∞+∞​xf(x)dx​=∫0+∞​x⋅n!xn​e−xdx=n!1​∫0+∞​xn+1e−xdx=n!(n+1)!​=n+1​

性质

• 设$C$是常数，则有$E(C)\equiv C$
• 设$X$是随机变量，$C$是常数，则有$E(CX)=CE(X)$
• 设$X$和$Y$是任意两个随机变量，则有$E(X\pm Y)=E(X)\pm E(Y)$
• 设随机变量$X$和$Y$相互独立，则有$E(XY)=E(X)E(Y)$

例1：设随机变量$X$的密度为$f(x)$，数学期望$E(X)=0$，说明 ∫ 0 + ∞ x [ f ( x ) − f ( − x ) ] d x = 0

∫0+∞​x[f(x)−f(−x)]dx=0​
∫ 0 + ∞ x [ f ( x ) − f ( − x ) ] d x = ∫ 0 + ∞ x f ( x ) d x + ∫ + ∞ 0 x f ( − x ) d x = ∫ 0 + ∞ x f ( x ) d x − ∫ 0 + ∞ ( − x ) f ( − x ) d ( − x ) = 0

∫0+∞x[f(x)−f(−x)]dx=∫0+∞xf(x)dx+∫+∞0xf(−x)dx=∫0+∞xf(x)dx−∫0+∞(−x)f(−x)d(−x)=0" role="presentation" style="position: relative;">∫+∞0x[f(x)−f(−x)]dx=∫+∞0xf(x)dx+∫0+∞xf(−x)dx=∫+∞0xf(x)dx−∫+∞0(−x)f(−x)d(−x)=0$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}x[f(x)-f(-x)]dx& ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}xf(x)dx+{\int }_{+\mathrm{\infty }}^{0}xf(-x)dx\\ & ={\int }_0^{+\mathrm{\infty }}xf(x)dx-{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}(-x)f(-x)d(-x)\\ & =0\end{array}$$

∫0+∞​x[f(x)−f(−x)]dx​=∫0+∞​xf(x)dx+∫+∞0​xf(−x)dx=∫0+∞​xf(x)dx−∫0+∞​(−x)f(−x)d(−x)=0​

函数的期望

定理：
设随机变量$X$的概率分布为
P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , ⋯ P \left\{X=x_{k}\right\}=p_{k},k=1,2,\cdots P{X=xk​}=pk​,k=1,2,⋯
如果级数$\sum _{k=1}^{+\infty }g(x_k)p_k$绝对收敛，则随机变量$Y=g(X)$的数学期望为
$$E(Y)=E[g(X)]=\sum _{k=1}^{+\infty }g(x_k)p_k$$

设随机变量$X$的概率密度为$f(x)$，如果积分 ∫ − ∞ + ∞ g ( x ) f ( x ) d x

∫−∞+∞​g(x)f(x)dx​绝对收敛，则随机变量$Y=g(X)$的数学期望为
$$E(Y)=E[g(X)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x)f(x)dx$$

定理：
设随机变量$(X,Y)$的概率分布为
P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , j = 1 , 2 , ⋯ P \left\{X=x_{i},Y=y_{i}\right\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots P{X=xi​,Y=yi​}=pij​,i,j=1,2,⋯
如果级数$\sum _{i=1}^{+\infty }\sum _{i=1}^{+\infty }g(x_i,y_j)p_{ij}$绝对收敛，则随机变量$Z=g(X,Y)$的数学期望为
$$E(Z)=E[g(X,Y)]=\sum _{i=1}^{+\infty }\sum _{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)dxdy$$

设随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)$，如果积分 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y

∫−∞+∞​∫−∞+∞​g(x,y)f(x,y)dxdy​绝对收敛，则随机变量$Z=g(X,Y)$的数学期望为
$$E(Z)=E[g(X,Y)]={\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }g(x,y)f(x,y)dxdy$$

一般做题用以下两个方法计算
F Z ( z ) = P { Z ≤ z } = P { g ( X , Y ) ≤ z } = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y E ( Z ) = E ( g ( X , Y ) ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y

FZ(z)=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}=∬g(x,y)≤zf(x,y)dxdyE(Z)=E(g(X,Y))=∫−∞+∞∫−∞+∞g(x,y)f(x,y)dxdy" role="presentation" style="position: relative;">FZ(z)E(Z)=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}=∬g(x,y)≤zf(x,y)dxdy=E(g(X,Y))=∫+∞−∞∫+∞−∞g(x,y)f(x,y)dxdy$$\begin{array}{rl}{F}_Z(z)& =P\left\{Z\le z\right\}=P\left\{g(X,Y)\le z\right\}=\underset{g(x,y)\le z}{\iint }f(x,y)dxdy\\ E(Z)& =E(g(X,Y))={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}g(x,y)f(x,y)dxdy\end{array}$$

FZ​(z)E(Z)​=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}=g(x,y)≤z∬​f(x,y)dxdy=E(g(X,Y))=∫−∞+∞​∫−∞+∞​g(x,y)f(x,y)dxdy​
其中也可根据$F_Z(z)$得到$f_Z(z)$然后用
$$E(Z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }z{f}_Z(z)dz$$
得到$E(Z)$

简单来说，期望的计算就是，$取的值\times 对应的概率$

例2：设随机变量$X$服从$P(\lambda )$，则随机变量$Y=\frac{1}{1+X}$的数学期望$EY=()$

$X$服从泊松分布$P(\lambda )$， P { X = k } = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , 2 , ⋯ P \left\{X=k\right\}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,\cdots P{X=k}=k!λk​e−λ,k=0,1,2,⋯，因此
E ( Y ) = E ( 1 1 + X ) = ∑ k = 0 + ∞ 1 1 + k ⋅ λ k k ! e − λ = 1 λ ∑ i = 1 + ∞ λ i i ! e − λ = 1 λ ( ∑ i = 0 + ∞ λ i i ! − e − λ ) = 1 λ ( 1 − e − λ )

E(Y)=E(1+X1​)​=k=0∑+∞​1+k1​⋅k!λk​e−λ=λ1​i=1∑+∞​i!λi​e−λ=λ1​(i=0∑+∞​i!λi​−e−λ)=λ1​(1−e−λ)​

例3：设随机变量$X$服从标准正态分布$N(0,1)$，则$E(e^{2X})=()$

E ( e 2 X ) = ∫ − ∞ + ∞ e 2 x ⋅ 1 2 π e − x 2 2 d x = e 2 ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − x 2 − 4 x + 4 2 d x = e 2 ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − ( x − 2 ) 2 2 d x

E(e2X)​=∫−∞+∞​e2x⋅2π ​1​e2−x2​dx=e2∫−∞+∞​2π ​1​e2−x2−4x+4​dx=e2∫−∞+∞​2π ​1​e−2(x−2)2​dx​

这里 ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − ( x − 2 ) 2 2 d x

∫−∞+∞12πe−(x−2)22dx" role="presentation" style="position: relative;">∫+∞−∞12π−−√e−(x−2)22dx$$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-2{)}^2}{2}}dx\end{array}$$

∫−∞+∞​2π ​1​e−2(x−2)2​dx​可以直接求积（用 ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = π 2

∫0+∞e−x2dx=π2" role="presentation" style="position: relative;">∫+∞0e−x2dx=π−−√2$$\begin{array}{r}{\int }_0^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\end{array}$$

∫0+∞​e−x2dx=2π ​​​，也可以看成正态分布$N(2,1)$的密度函数积分等于$1$而不必直接求积分，所以答案为$e^2$

例4：某商店销售节日商品每公斤可获利$8$元，节后每公斤亏损$2$元，节日商品销售量$X$是$[100,200]$上均匀分布的随机变量，问节前应进多少公斤这种商品才可以使商店的利润期望值最大

设进货量为$y$公斤，利润为$Z$元，显然，利润与$X$和$y$有关系
如果$y\le X$，则$Z=8y$
如果$y>X$，则$Z=8X-2(y-X)=10X-2y$
即
Z = { 8 y X ≤ y 10 X − 2 y X < y , 其中 100 ≤ y ≤ 200 , X ∼ U [ 100 , 200 ] Z=\left\{

\right.,其中100 \leq y \leq 200,X \sim U[100,200] Z={​8y10X−2y​X≤yX<y​,其中100≤y≤200,X∼U[100,200]
因此
E ( Z ) = ∫ 100 y ( 10 x − 2 y ) 1 100 d x + ∫ y 200 8 y 1 100 d x = 1 100 ( − 5 y 2 + 1800 y − 50000 )

E(Z)=∫100y(10x−2y)1100dx+∫y2008y1100dx=1100(−5y2+1800y−50000)" role="presentation" style="position: relative;">E(Z)=∫y100(10x−2y)1100dx+∫200y8y1100dx=1100(−5y2+1800y−50000)$$\begin{array}{rl}E(Z)& ={\int }_{100}^y(10x-2y)\frac{1}{100}dx+{\int }_y^{200}8y\frac{1}{100}dx\\ & =\frac{1}{100}(-5y^2+1800y-50000)\end{array}$$

E(Z)​=∫100y​(10x−2y)1001​dx+∫y200​8y1001​dx=1001​(−5y2+1800y−50000)​
又有
d E ( Z ) d y = 1 100 ( − 10 y + 1800 ) = 0

dE(Z)dy=1100(−10y+1800)=0" role="presentation" style="position: relative;">dE(Z)dy=1100(−10y+1800)=0$$\begin{array}{r}\frac{dE(Z)}{dy}=\frac{1}{100}(-10y+1800)=0\end{array}$$

dydE(Z)​=1001​(−10y+1800)=0​
解得$y=180$

方差

定义：设$X$是随机变量，如果数学期望$E\left\{[X-E(X){]}^2\right\}$存在，则称之为$X$的方差，记作$D(X)$，即
$$D(X)=E\left\{[X-E(X){]}^2\right\}$$
称$\sqrt{D(X)}$为随机变量$X$的标准差或均方差，记作$\sigma (X)$，即$\sigma (X)=\sqrt{D(X)}$

性质

• 设$C$是常数，则$D(C)=0$，反之，从$D(X)=0$不能得出$X$为常数的结论
• 设$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则有
  $$D(aX+b)=a^{2}D(X)$$
• 设随机变量$X$和$Y$相互独立，则有
  $$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$$

要求$X$和$Y$相互独立，可以减弱为$X$和$Y$不相关就有$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$。事实上$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$城里的充要条件是$X$和$Y$不相关

独立：有两随机事件 A、B 。 A、B 发生的概率分别为 P(A) 和 P(B) ， AB 事件同时发生的概率为 P(AB) 若 P(A)×P(B)=P(AB) ，则 A 与 B 相互独立。事件 A 发生的概率不影响事件 B 发生的概率，反应的是概率运算上的关系。
不相关：不相关是指两个变量的相关系数为0，两个变量之间没有线性关系的。
1.不相关是指的两个变量之间没有线性关系，并不一定没有其他关系。而独立指的是两个随机变量之间什么关系都没有。so，独立一定不相关，不相关不一定独立。
2.特别的，当随机变量x,y是服从于二维正态分布时，不相关和独立等价

作者：啊，都是鬼
链接：概率论中的独立和不相关的区别_啊，都是鬼的博客-CSDN博客_不相关和独立的区别

随机变量$X$的方差计算公式

$$D(X)=E\left\{[X-E(X){]}^2\right\}=E(X^2)-[E(X){]}^2$$
证明：
D ( X ) = E { [ X − E ( X ) ] 2 } = E { X 2 − 2 X E ( X ) + [ E ( X ) ] 2 } = E ( X 2 ) − 2 E ( X ) E ( X ) + [ E ( X ) ] 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2

D(X)​=E{[X−E(X)]2}=E{X2−2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)−2E(X)E(X)+[E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2​
由于对任何随机变量$X$，$D(X)\ge 0$，故恒有
$$E(X^2)\ge [E(X){]}^2$$
有时在已知$X$的数学期望与方差时，还用此公式求$E(X^2)$

常用随机变量的数学期望和方差

$0-1$分布：$E(X)=p,D(X)=p(1-p)$
二项分布，$X\sim B(n,p)$：$E(X)=np,D(X)=np(1-p)$
泊松分布，$X\sim P(\lambda )$：$E(X)=\lambda ,D(X)=\lambda$
几何分布， P { X = k } = p ( 1 − p ) k − 1 , k = 1 , 2 , ⋯   , 0 < p < 1 P \left\{X=k\right\}=p(1-p)^{k-1},k=1,2,\cdots ,0P{X=k}=p(1−p)k−1,k=1,2,⋯,0<p<1： E ( X ) = 1 p , D ( X ) = 1 − p p 2

E(X)=p1​,D(X)=p21−p​​
均匀分布，$X\sim U(a,b)$： E ( X ) = a + b 2 , D ( X ) = ( b − a ) 2 12

E(X)=a+b2,D(X)=(b−a)212" role="presentation" style="position: relative;">E(X)=a+b2,D(X)=(b−a)212$$\begin{array}{r}E(X)=\frac{a+b}{2},D(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}\end{array}$$

E(X)=2a+b​,D(X)=12(b−a)2​​
指数分布，$X\sim E(\lambda )$： E ( X ) = 1 λ , D ( X ) = 1 λ 2

E(X)=1λ,D(X)=1λ2" role="presentation" style="position: relative;">E(X)=1λ,D(X)=1λ2$$\begin{array}{r}E(X)=\frac{1}{\lambda },D(X)=\frac{1}{{\lambda }^2}\end{array}$$

E(X)=λ1​,D(X)=λ21​​
正态分布，$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$：$E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2$

CSDN话题挑战赛第2期
参赛话题：学习笔记