视觉SLAM十四讲_4李群与李代数

本文为b站视频的一个笔记
在SLAM中，我们经常要解下面一个问题
$$F=minJ(T)={\Sigma }_{i=1}^N||z_i-T{p}_i|{|}^2$$
这个问题中, T是位姿变量。对于求最小值问题，我们第一步就要求函数对于变量的偏导数，比如说我们对$y=x^2$这个函数来说，偏导数就是 $y^{\prime }=2x$, 初始值$x=10$, 设置步长为1，那就是逐步从10->0. 直到偏导数等于0的时候，收敛至稳定解x= 0.

这里我们要求F对T的偏导数
然后将小量 $\delta T$ 加到T上去迭代

因为表示旋转的李群SO(3)是不能直接相加的，所以这里要费一番功夫来介绍李代数的概念。

一、群的概念

用于机器人中表示位姿的是特殊正交群SO(3):
$$SO(3)=R\in 3\times 3|R{R}^T=I,det(R)=1$$
严格的来说，群需要满足如下定义：

1. 封闭性 $\forall a_1,a_2\in A,a_1{a}_2\in A$
2. 结合律 $\forall a_1,a_2,a_3,a_1{a}_2{a}_3=a_1(a_2{a}_3)$
3. 幺元 $\exists a_0,s.t.\forall a\in A,a_{0}a=a{a}_0=a$
4. 逆 $\forall a\in A,\exists a^{-1}\in A,s.t.a{a}^{-1}=a_0$

上面四个条件用人话说一遍其实就是：1. 两个这种东西相乘，本质还是这个东西。2. 先乘后乘一样。3. 有一个单位阵。4. 有个相反的东西可以让它乘了就回去。可以简单的验证，旋转矩阵集合+矩阵乘法，它是构成群的。
李群是指连续性质的群，很显然，SO(3)是属于李群的。
SO(3)有个缺点，那就是它是由旋转矩阵+乘法构成的，它没有加法。因此直接在SO(3)上求偏导数不行，得想其他办法。而李代数，刚好能解决这个问题。李代数对应李群的正切空间，它描述了李群局部的导数。

二、李代数

首先对旋转矩阵的导数形式进行了探索：


也就是说，旋转矩阵是可以表示成指数形式的。那只要把$\varphi$找出来，就可以求旋转矩阵的导数了。

李代数的定义

每一个李群都有与之对应的李代数，李代数描述了李群单位元数的正切空间性质
三维空间向量 + $R^3$ + 叉乘运算 构成李代数
其中，这个里面证明$\varphi$是一个单位向量与模长相乘，那么就可以说明它就是旋转向量。

三、李代数求导与扰动模型

BCH公式

这个公式的作用，就是解决$f(x+\delta x)$是多少的问题

KaTeX parse error: Got function '\hat' with no arguments as superscript at position 15: ln(exp(\phi_1^\̲h̲a̲t̲ ̲))