我们仅考虑函数g为单调增函数的情况，其为单调减函数的情况同理可得：
设X的分布函数为：
F
X
(
x
)
=
∫
0
x
p
X
d
x
F_X(x)=\int_0^x{p_X}dx
FX(x)=∫0xpXdx
我们有：
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
因为
g
为单调增函数
所以
X
≤
x
⇔
Y
≤
g
(
x
)
所以
F
X
(
x
)
=
P
(
Y
≤
g
(
x
)
)
=
F
Y
(
g
(
x
)
)
作变量代换，
y
=
g
(
x
)
，则
x
=
g
−
1
(
y
)
有
F
X
(
g
−
1
(
y
)
)
=
F
Y
(
y
)
于是
p
Y
=
d
F
Y
(
y
)
d
y
=
d
F
X
(
g
−
1
(
y
)
)
d
g
−
1
(
y
)
∗
d
g
−
1
(
y
)
d
y
=
p
X
(
g
−
1
(
y
)
)
∗
(
g
−
1
(
y
)
)
′
F_X(x)=P(X\le x)\\ 因为g为单调增函数\\ 所以X\le x \Leftrightarrow Y\le g(x) \\ 所以F_X(x)=P(Y\le g(x))=F_Y(g(x))\\ 作变量代换，y=g(x)，则x=g^{-1}(y)\\ 有F_X(g^{-1}(y))=F_Y(y)\\ 于是p_Y=\frac{dF_Y(y)}{dy}=\frac{dF_X(g^{-1}(y))}{dg^{-1}(y)}*\frac{dg^{-1}(y)}{dy}\\ =p_X(g^{-1}(y))*(g^{-1}(y))'
FX(x)=P(X≤x)因为g为单调增函数所以X≤x⇔Y≤g(x)所以FX(x)=P(Y≤g(x))=FY(g(x))作变量代换，y=g(x)，则x=g−1(y)有FX(g−1(y))=FY(y)于是pY=dydFY(y)=dg−1(y)dFX(g−1(y))∗dydg−1(y)=pX(g−1(y))∗(g−1(y))′
因此我们有：