[数据结构]~二叉树

前言

作者：小蜗牛向前冲

名言：我可以接受失败，但我不能接受放弃

 

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目录

一 树的相关概念 

1 树的概念

 2 树的相关概念

3 树的表示

 二 二叉树的概念及其结构

1 概念

 2 特殊的二叉树

3 二叉树的性质

 三 二叉树结构的实现

1 二叉树链式结构的建树

2 二叉树的遍历

3 二叉树的其他问题

 在下面博主将带领大家去探秘二叉树，在讲二叉树之前，我们还要了解在数据结构中的树是这么回事。

一 树的相关概念 

1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

1. 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
2. 其余节点都是根的子节点，子节点中又可以形成子树，注意：子树是不可相交的。
3. 树是由递归形成的

 2 树的相关概念

3 树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

表示方式如下：

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
}；

 二 二叉树的概念及其结构

1 概念

二叉树（binary tree）是指树中节点的度不大于2的有序树，它是一种最简单且最重要的树。二叉树的递归定义为：二叉树是一棵空树，或者是一棵由一个根节点和两棵互不相交的，分别称作根的左子树和右子树组成的非空树；左子树和右子树又同样都是二叉树。

 2 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

 

3 二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1) 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2^h-1.
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝n2 ＋1
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log(h+1)(ps： 是log以2
为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对
于序号为i的结点有：
1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：parant = (i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
2. 若2i+1eftChild = 2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
3. 若2i+2leftChild = 2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

我们了解二叉树的性质，我们做一些题目了加深理解吧 ！

 这题该如何去解题呢？

我们在看一题目吧！ 

 要深度最小就是所有层都是满的，该树的度为4所以，每个根都有4个孩子节点时深度最小，即是4叉树。

 三 二叉树结构的实现

对于二叉树来说其实是有二种结构的，一种是顺序结构，其实也就是堆，我们在上篇博客已经实现了感兴趣的小伙伴可以去看看；另一种结构是链接结构，下面我们重点说明一下链式二叉树是如何构建的，下面我们还对二叉树的各类递归情形做出分享。

1 二叉树链式结构的建树

 由于我们刚刚开始接触二叉树，对于建树的操作还不是那么了解，但我们要对于二叉树进行一些基本操作，所以我们可以手动的快速建立二叉树。

代码如下：

//建一个二叉树
BTNode* CreateTree()
{
	BTNode* n1 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n1);
	BTNode* n2 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n2);
	BTNode* n3 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n3);
	BTNode* n4 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n4);
	BTNode* n5 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n5);
	BTNode* n6 = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	assert(n6);
 
	//赋值数据
	n1->data = 1;
	n2->data = 2;
	n3->data = 3;
	n4->data = 4;
	n5->data = 5;
	n6->data = 6;
 
	//链接树
	n1->left = n2;
	n1->right = n3;
	n2->left = n4;
	n2->right = n5;
	n4->left = NULL;
	n4->right = NULL;
	n5->left = NULL;
	n5->right = NULL;
	n3->left = n6;
	n3->right = NULL;
	n6->left = NULL;
	n6->right = NULL;
	return n1;
}

树的形状：

2 二叉树的遍历

二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。二叉树有三种遍历方式：

前序遍历：先遍历根，其次左树，最后右树

中序遍历：先遍历左树，其次根，最后右树

后序遍历：先遍历左树，其次右树，最后根

下面用代码实现：

//前序遍历(根，左，右）
void PreTraverseTree(BTNode* root)
{
	if (NULL == root)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	//根
	printf("%d ", root->data);
	//左
	PreTraverseTree(root->left);
	//右
	PreTraverseTree(root->right);
}
 
 
//中序遍历
void MidTraverseTree(BTNode* root)
{
	if (NULL == root)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	//左
	MidTraverseTree(root->left);
	//根
	printf("%d ", root->data);
	//右
	MidTraverseTree(root->right);
}
 
//后序遍历
void LastTraverseTree(BTNode* root)
{
	if (NULL == root)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	//左
	LastTraverseTree(root->left);
	//右
	LastTraverseTree(root->right);
	//根
	printf("%d ", root->data);
}

下面我们打印一下遍历的路径：

 大家可以动手在图中画一画。

3 二叉树的其他问题

下面是二叉树一些常见问题:

我们要求二叉树的有多少个节点，我们又该如何求呢？

对于这里，我们很容易想到遍历二叉树。我们依据这个想法可以写出：dan

int count = 0;
//求树有多少个节点
//1遍历求解
void TreeSize(BTNode* root)
{
	if (NULL == root)
		return;
	++count;
	TreeSize(root->left);
	TreeSize(root->right);
	return;
}

我们发现没，对于遍历二叉树，那我们就不好返回到底有多少个节点，我们只能通过全局变量count来计算，更为麻烦的是每次统计完成后，我们就要将count 重新置0。

那我们有更好的方法解决这个问题吗?

其实我们可以进行思路的转换 ，将求树的所以节点转换为求左子树的节点+右子树的节点+1(根)。

//2分解成子问题
//总树==左子树+右子树，左树套娃，右树套娃
int TreeSize(BTNode* root)
{
	return root == NULL ? 0 : TreeSize(root->left) + TreeSize(root->right)+1;
}

这种分解成子问题的想法非常重要，大家一定要好好理解。

那么我们又如何去求树的高度呢？

这里我们继续将用到分解成子问题的思路，我们可以将这个问题转换为求左子树高度+1或者右子树高度+1，树的高度就为其中最高的一个。

//求树的高度
int TreeHeight(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	int lh = TreeHeight(root->left);
	int rh = TreeHeight(root->right);
	return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}

我们下面继续思考我们如何求第K层的节点树

继续用子问题分解法，相当于求子树k-1层节点，这个想法是有点神奇的，下面我们画图来理解一下。

// 第K层节点个数
int TreeKLevel(BTNode* root, int k)
{
	assert(k > 0);
	if (NULL == root)
		return 0;
	if (1 == k)
		return 1;
	//转变为求子树的k-1层
	return TreeKLevel(root->left, k - 1) + TreeKLevel(root->right, k - 1);
}

我们继续求返回x节点，这个我们的思路是先去左树找，没找到就去右数找，在没找到就返回NULL。

BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	BTNode* lret,*rret;
	if (NULL == root)
		return NULL;
	if (x == root->data)
		return root;
	//去左树找
	lret = TreeFind(root->left, x);
	if (lret)
		return lret;
	//左树没找到，就去右树找
	rret = TreeFind(root->right, x);
	if (rret)
		return rret;
	//左树和右树都没找到
	return NULL;
}