应用统计学方差分析之单因素方差分析原理解析（含Python代码）

基本概念：

在试验中，把考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素。因素可分为两类,-类是人为可控的测量数据，比如温度、身高等;一类是不可控的随机因素，例如，测量误差，气象条件等。因素所处的状态称为因素的水平。如果在试验过程中，只有一个因素在改变，称为单因素试验。方差分析Q (Analysis ofVariance，简称ANOVA)主要用于验证两组样本，或者两组以上的样本均值是否有显著性差异(是否一致)。

实例：

 

 

 单因素方差分析的假设条件：

注：现实中当用到方差分析时候，一定是两组数据很相似，所以用到方差分析，若两组数据差异均值方差较大，则仅通过均值定性判断，就可以了。

通常实际应用中要先做同方差显著性水平检验（方差齐次性检验）

分析步骤： 

现在假定一个因素B具有c个水平的因变量进行方差分析检验，例如上面提到的工厂轧制设备是因素，分别试验轧制了10块板材是水平。

1、建立假设
H0: μ1=μ2=…=μc；
H1: μ1，μ2，…，μc不全相等。

2、计算样本均值和样本方差。

  3、计算组间方差

组间方差：反映不同组样本数据波动情形和不同组内部波动情形。

  4、组内方差的估计：

组内方差：反映该组样本数据波动情况。

 

组内方差和组间方差的关系：

将组间方差与组内方差相比，可以得到一个F统计量(F=组间方差/组内方差)，可以证明该统计量服从F分布。
5、构造F统计量进行检验
F=组间方差/组内方差=MSB/MSE~F(c-1, nT-1)
如果c个总体均值不相等，则组间方差(MSB)会大于组内方差(MSE)。当F值大到某一临界值时，就可以拒绝H0。临界值的大小由给定的α和自由度决定。所以，当给定显著性水平为α时，F的拒绝域为F>Fα(c-1,nT-c)。

6、方差分析表

 

 7，应用

实例分析：

例题：有8位食品专家对三种配方的食品随机品尝，然后给食品的口感分别打分(满分10分)，如下表。问三种配方的平均分数是否相同？(α=0.05)(假定打分服从标准相等的正态分布)。

 解：设μA，μB，μC分别代表配方1、2、3。已知因变量是分数，因素是配方，水平为3，具有相同的样本容量8。根据题意建立假设：
H0: μA=μB=μC；
H1: 总体均值不全相等。
首先，计算样本均值及方差

 

 Python代码案例分析：

案例：

某保险公司想了解一下某险种在不同的地区是否有不同的索赔额。于是他们就搜集了四个不同地区一年的索赔额情况的记录如下表：



尝试判断一下， 地区这个因素是否对与索赔额产生了显著的影响？

 

 

import pandas as pd
import numpy as np
 
 
from scipy import stats
from statsmodels.formula.api import ols
from statsmodels.stats.anova import anova_lm
 
 
# 这是那四个水平的索赔额的观测值
A1 = [1.6, 1.61, 1.65, 1.68, 1.7, 1.7, 1.78]
A2 = [1.5, 1.64, 1.4, 1.7, 1.75]
A3 = [1.6, 1.55, 1.6, 1.62, 1.64, 1.60, 1.74, 1.8]
A4 = [1.51, 1.52, 1.53, 1.57, 1.64, 1.6]
 
 
data = [A1, A2, A3, A4]
# 方差的齐性检验
w, p = stats.levene(*data)
if p < 0.05:
    print('方差齐性假设不成立')
 
 
# 成立之后， 就可以进行单因素方差分析
f, p = stats.f_oneway(*data)
print(f, p)      #  2.06507381767795 0.13406910483160134