线性代数矩阵相关知识回顾

线性代数矩阵相关知识回顾

一、矩阵定义

由 $m\times n$ 个数 $a_{ij}$($i=1,2,...,m;j=1,2,...,n$) 排成的 $m$行$n$列 的矩形表格。

$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$$

称为一个 $m\times n$ 矩阵，记为 $A$ 或 $(a_{ij}{)}_{m\times n}$ ($i=1,2,...,m;j=1,2,...,n$)。

若 $m=n$，称 $A$ 为 $n$阶 方阵。

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二、矩阵基本运算

1、相等

 矩阵同型，且元素对应相等。

2、加法

 两个矩阵同型的时候，可以相加 $A+B=C$。
 其中，$c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$。

3、数乘

 $k$是一个数，$A$是一个$m\times n$的矩阵。

$kA=Ak=k\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}k{a}_{11}& k{a}_{12}& \cdots & k{a}_{1n}\\ k{a}_{21}& k{a}_{22}& \cdots & k{a}_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ k{a}_{m1}& k{a}_{m2}& \cdots & k{a}_{mn}\end{array}\right]=(k{a}_{ij}{)}_{m\times n}$

4、线性运算

 加法运算和数乘运算统称矩阵的线性运算。

5、运算律

 交换律

$A+B=B+A$ (同型矩阵)

 结合律

$(A+B)+C=A+(B+C)$ (同型矩阵)

 分配律

$k(A+B)=kA+kB$ ;
$(k+j)A=kA+jA$ (同型矩阵,$k$为任意常数)

 数和矩阵相乘的结合律

$k(lA)=(kl)A=l(kA)$($k、l$为任意常数)

 行列式相关性质

$\left|\begin{array}{c}kA\end{array}\right|$ $=k^n|A|$ ($n\ge 2,k\ne 0,1$)

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三、矩阵其他变换

1、矩阵的乘法

$A$ 是 $m\times s$ 矩阵， $B$ 是 $s\times n$ 矩阵（ $A$ 的列数等于 $B$ 的行数），$A$ 与 $B$ 可乘，乘积 $AB$ 为 $m\times n$ 的矩阵。

 $C=AB$,
$c_{ij}=\sum _{k=1}^s{a}_{ik}{b}_{kj}$=$a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+a_{i3}{b}_{3j}+...+a_{is}{b}_{sj}$   ($i=1,2,...,m;j=1,2,...,n$)。

运算律

 （1）结合律

$(A_{m\times s}{B}_{s\times r})C_{r\times n}=A_{m\times s}(B_{s\times r}{C}_{r\times n})$

 （2）分配律

$(A_{m\times s}+B_{m\times s})C_{s\times n}=A_{m\times s}{C}_{s\times n}+B_{m\times s}{C}_{s\times n}$

 （3）数乘和乘法的结合律

$(k{A}_{m\times s})B_{s\times n}=A_{m\times s}(k{B}_{s\times n})=k(A_{m\times s}{B}_{s\times n})$

注意

• $AB\ne BA$
• $AB=O\nRightarrow A=O\mathrm{或}B=O$
• $AB=AC,A\ne O\nRightarrow B=C$

2、转置矩阵

将矩阵行列互换，$m\times n$ 转换成 $n\times m$，为 $A^T$。

• $(A^T{)}^T=A$;

• $(A+B{)}^T=A^T+B^T$;

• $(kA{)}^T=k{A}^T$;

• $(AB{)}^T=B^T{A}^T$;

• $m=n$ 时，$\left|\begin{array}{c}{A}^T\end{array}\right|$ $=$ $\left|\begin{array}{c}A\end{array}\right|$

3、向量的内积和正交

（1）内积

对 向量 $\overrightarrow{\alpha }$ $=$ ${\left[\begin{array}{c}{a}_1,a_2,\cdots ,a_n\end{array}\right]}^T$ ， 向量 $\overrightarrow{\beta }$ $=$ ${\left[\begin{array}{c}{b}_1,b_2,\cdots ,b_n\end{array}\right]}^T$

${\overrightarrow{\alpha }}^T$ $\overrightarrow{\beta }$ $=$ $\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$ $=$ $a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n$

   称为内积(是一个数)，记为 ( $\overrightarrow{\alpha }$ , $\overrightarrow{\beta }$) 。

（2）正交

当 ${\overrightarrow{\alpha }}^T$ $\overrightarrow{\beta }$ $=0$ 时，向量 $\overrightarrow{\alpha }$ ，$\overrightarrow{\beta }$ 是正交向量。

（3）模

$\Vert \begin{array}{c}\overrightarrow{\alpha }\end{array}\Vert$ $=$ $\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}$
   称为向量 $\overrightarrow{\alpha }$ 的模（长度）。

   模为 1 时，称为 单位向量 。

（4） 标准正交向量组

列向量组 ${\overrightarrow{\alpha }}_1$ ,${\overrightarrow{\alpha }}_2$,...,${\overrightarrow{\alpha }}_n$ 满足

${\overrightarrow{\alpha }}_i^T{\overrightarrow{\alpha }}_j$ = $\{\begin{array}{lll}0& ,& i\ne j\\ \\ 1& ,& i=j\end{array}$

  则称其为标准或单位正交向量组。

(5) 施密特标准正交化

有线性无关向量组 ${\overrightarrow{\alpha }}_1$ ,${\overrightarrow{\alpha }}_2$，

• 标准正交化：

${\overrightarrow{\beta }}_1$ $=$ ${\overrightarrow{\alpha }}_1$

${\overrightarrow{\beta }}_2$ $=$ ${\overrightarrow{\alpha }}_2-\frac{({\overrightarrow{\alpha }}_2,{\overrightarrow{\beta }}_1)}{({\overrightarrow{\beta }}_1,{\overrightarrow{\beta }}_1)}{\overrightarrow{\beta }}_1$

  即为正交向量组。

• 再单位化：

${\overrightarrow{\eta }}_1$ $=$ $\frac{{\overrightarrow{\beta }}_1}{\Vert \begin{array}{c}{\overrightarrow{\beta }}_1\end{array}\Vert }$

${\overrightarrow{\eta }}_2$ $=$ $\frac{{\overrightarrow{\beta }}_2}{\Vert \begin{array}{c}{\overrightarrow{\beta }}_2\end{array}\Vert }$

  即为标准正交向量组。

4、方阵

（1）方阵的幂

  $A$ 是一个 $n$阶 方阵，$A^m=AA...A(m\mathrm{个}A\mathrm{相}\mathrm{乘})$ 称为 $A$ 的 $m$ 次幂。

特别的例子：

$(A+B{)}^2=(A+B)(A+B)=A^2+AB+BA+B^2$

$(AB{)}^m=(AB)(AB)...(AB)(m\mathrm{个}AB\mathrm{相}\mathrm{乘})\ne A^m{B}^m$

$f(x)=a_0+a_{1}x+...+a_n{x}^n$  $\Rightarrow$  $f(A)=a_{0}E+a_{1}A+...+a_n{A}^n$

（2）方阵的乘积

$A、B$是同阶方阵 $\Rightarrow$ $|AB|=|A||B|$

（3）特殊的方阵

  零矩阵：各元素均为 $0$ ，记为$O$。

  单位矩阵：主对角元素均为 $1$ ，其余元素均为 $0$ 的 $n$ 阶方阵，称为 $n$ 阶单位矩阵，记为 $E$ 或 $I$ 。

  数量矩阵：数 $k$ 和单位矩阵的乘积所得矩阵。

  对角矩阵：非主对角元素均为 $0$ 的矩阵。

  上（下）三角矩阵：当$i>(<)j$时，$a_{ij}=0$的矩阵称为上（下）三角矩阵。

  对称矩阵：满足$A^T=A$的矩阵，$a_{ij}=a_{ji}$。

  正交矩阵：满足$A^{T}A=E$  $\iff$  $A^T=A^{-1}$  $\iff$  $A$的行（列）向量组是标准正交向量组。

5、分块矩阵

横纵线将矩阵分为若干小块，每个小块都看作一个元素。

$A$ $=$ $\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{c}{A}_1\\ A_2\\ ⋮\\ A_m\end{array}\right]$ , $A_i$为一个子块。

注意：$A、B$分别为m、n阶方阵，则

${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^n$ $=$ $\left[\begin{array}{cc}{A}^n& O\\ O& B^n\end{array}\right]$

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四、矩阵的逆

 $A、B$ 均为 $n$ 阶方阵，$E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，若 $AB=BA=E$ ，$A$ 是可逆矩阵，而$A$ 的逆矩阵是 $B$，且逆矩阵唯一，记为 $A^{-1}$ 。

$A$可逆 $\iff$ $|A|\ne 0$，

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$。

1、性质

• $(A^{-1}{)}^{-1}=A$

• 若$k\ne 0$，则$(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1}$

• $A、B$同阶可逆，则$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$ (穿脱原则)

• $A$可逆 $\Rightarrow$ $A^T$可逆。$(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

• $|A^{-1}|$ $=$ $|A{|}^{-1}$

2、求取逆矩阵

（1） 拆解$A$，$A^{-1}=(BC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}$

（2） $A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

（3） 特殊形式的矩阵：

   ${\left[\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right]$，

   ${\left[\begin{array}{cc}O& A\\ B& O\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}O& B^{-1}\\ A^{-1}& O\end{array}\right]$

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五、伴随矩阵

1、余子式

 在$n$阶行列式中，把 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去，留下来的 $n-1$ 阶行列式，叫做 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$ 。

2、代数余子式

$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

行列式的值 等于 任一行（列）的各元素与其对用的代数余子式乘积之和。

$|A|=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}$ ($i=1,2,...,n$)
   或
$|A|=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+...+a_{nj}{A}_{nj}$ ($j=1,2,...,n$)

3、伴随矩阵

行列式$|A|$的各个元素的代数余子式转置排列后，所得矩阵称为$n$阶方阵$A$的伴随矩阵，记为$A^{\ast }$。

$A^{\ast }=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right]$

4、性质

1 任意$n$阶方阵

• $A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E$

• $|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$

2 任意$n$阶方阵, $|A|\ne 0$时
 $(kA{)}^{\ast }=k^{n-1}{A}^{\ast }$

3

• $(A^T{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^T$

• $(A^{-1}{)}^{\ast }=(A^{\ast }{)}^{-1}$

• $(AB{)}^{\ast }=B^{\ast }{A}^{\ast }$

• $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$

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六、初等矩阵

1、初等行（列）变换

1.倍乘  一个非零常数 乘 矩阵的某行（列）
2.互换  互换矩阵中的某两行（列）的位置
3.倍加  某行（列）的$k$倍加到另一行（列）

2、初等矩阵

各教材表示方法有异

1.  $E_i(k)(k\ne 0)$ ：单位矩阵第$i$行（列）乘$k$。

2.  $E_{ij}$ ：单位矩阵交换第$i$、$j$行（列）。

3.  $E_{ij}(k)$：单位矩阵第$i$行（列）乘$k$倍，加到第$j$行（列）上。

初等变换求取逆矩阵

$[A⋮E]$ 进行初等行变换 $\to$ $[E⋮A^{-1}]$

$\left[\begin{array}{c}A\\ \cdots \\ E\end{array}\right]$ 进行初等列变换 $\to$ $\left[\begin{array}{c}E\\ \cdots \\ A^{-1}\end{array}\right]$

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七、矩阵的秩与等价矩阵

1、秩

 $A$为 $m\times n$矩阵，若存在 $k$ 阶子式不为 $0$ ，而任意 $k+1$阶子式全为 $0$ ，则$r(A)=k$。

性质

 1. 若$A$为$n$阶方阵，则有：  $r(A)=n$ $\iff$ $|A|\ne 0$ $\iff$ $A$可逆

 2. 初等变换不改变秩 ：$P、Q$可逆，则$r(A_{m\times n})=r(P_{m\times m}A)=r(A{Q}_{n\times n})=r(PAQ)$

 3. $0⩽r(A_{m\times n})⩽min(m,n)$

 4. $r(kA)=r(A)(k\ne 0)$

 5. $r(AB)⩽min(r(A),r(B))$

 6. $r(A+B)⩽r(A)+r(B)$

 7. 方阵：$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{lll}n& ,& r(A)=n\\ 1& ,& r(A)=n-1\\ 0& ,& r(A)\le n-1\end{array}$

2、等价矩阵

 若 $A、B$ 均为 $m\times n$ 矩阵，若存在可逆矩阵 $P_{m\times m}$ 、 $Q_{n\times n}$ ，使得 $PAQ=B$ ，则称 $A,B$ 是等价矩阵，记作 $A\cong B$ 。

等价标准型

 若 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，且等价于 $\left[\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right]$ ，其中 $r$ 等于 $r(A)$ 。那么， $\left[\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right]$ 称为 $A$ 的等价标准型。

 等价标准型是唯一的，必存在可逆矩阵 $P、Q$ ，使得 $PAQ=$ $\left[\begin{array}{cc}{E}_r& O\\ O& O\end{array}\right]$ 。