算法基础（二）| 高精度算法详解

⭐写在前面的话：本系列文章旨在复习算法刷题中常用的基础算法与数据结构，配以详细的图例解释，总结相应的代码模板，同时结合例题以达到最佳的学习效果。本专栏面向算法零基础但有一定的C++基础的学习者。若C++基础不牢固，可参考：10min快速回顾C++语法，进行语法复习。

高精度算法详解

高精度加法

适用于c++。java和python没有这个问题，因为java有大整数类，python自带，默认数是无限大。

分类：

• A + B 数量级$10^6$ （A和B的位数是 $10^6$ ）

• A - B 数量级$10^6$

• A * a 数量级$A\le 10^6$，$a\le 10000$

• A / a 数量级$A\le 10^6$，$a\le 10000$

大整数的存储

实际上是把长数字的每一位存储到数组当中，并且是倒序存储。

倒序存储的原因：

在数组中，如果顺序存储，在产生进位时，在数组头部a[0]前添加元素非常不方便，需要将后面元素依次后移。而如果倒序存储，则直接可以添加进位数字。

计算过程

先看一下我们如何进行常见加法：

接下来我们将它进行抽象

针对其中的一位，我们列以下式子：

例题：高精度加法

给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的和。

输入格式

共两行，每行包含一个整数。

输出格式

共一行，包含所求的和。

数据范围

$1\le 整数长度\le 100000$

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输出样例：

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算法模板

#include 
#include 

using namespace std;
//函数是算数组表示的整数A和数组表示的整数B
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;// 进位
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    //最后看最高位有没有进位，若有进位的话就压入
    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

int main()
{
    string a, b;
    vector<int> A, B;
    cin >> a >> b;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0');

    auto C = add(A, B);

    // 整个过程都是逆序存储的，因此最后输出时也需要倒序输出。
    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << C[i];
    cout << endl;

    return 0;
}
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模板说明

该模板采用了递归调用

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;//进位
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    //最后看最高位有没有1，若是1的话就压入
    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}
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此模板也可以换种写法

vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{

    vector<int> C;
    int t = 0;//进位
    for (int i = 0; i < A.size() || i < B.size(); i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    //最后看最高位有没有1，若是1的话就压入
    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}
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高精度减法

整数的存储同上

计算过程

这里以下式为例

再次把它抽象一下，形成一下形式

由此我们可以列出以下式子

首先判断A 与 B的关系，如果A 大于B，则正常加减，否则就计算其差的负数。

然后分别判断每一位的大小，并且计算是否需要进位。（减去下一位的借位，没借位则t是0，有借位则t是1）

如果是大于0的话，就直接减，如果是小于0的话，就借一位再减。

例题：高精度减法

给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的差，计算结果可能为负数。

输入格式

共两行，每行包含一个整数。

输出格式

共一行，包含所求的差。

数据范围

1≤整数长度≤$10^5$

输入样例：

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输出样例：

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算法模板

#include 
#include 

using namespace std;

//判断是否有A ≥ B
bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    //首先判断两个数的位数大小，设置return A > B
    if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();
    // 位数相同，从最高位开始比较，设置return A > B
    for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i -- )
        if (A[i] != B[i])
            return A[i] > B[i];
    return true;
}

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        // 倒序存储，因此实际上是从低位逐渐向高位遍历。
        t = A[i] - t;
        // 首先要判断以下B[i]是否存在
        if (i < B.size()) t -= B[i];
        // 本位，这里的(t + 10) % 10,如果t是0-9，则会抵消，如果t是小于0，则相当于是 +10 借位。
        C.push_back((t + 10) % 10);
        // t小于0，表示需要借位，因此标记为1，这样在传递到下一次循环（即前一位时会自动减1（减去借位））
        if (t < 0) t = 1;
        else t = 0;
    }
    //删除前导0
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}

int main()
{
    string a, b;
    vector<int> A, B;
    cin >> a >> b;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; i -- ) B.push_back(b[i] - '0');

    vector<int> C;

    if (cmp(A, B)) C = sub(A, B);
    else C = sub(B, A), cout << '-';

    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) cout << C[i];
    cout << endl;

    return 0;
}
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高精度乘法

存储与上相同。

计算过程

这里先列出计算式的通式

与常见的计算相似，每一位分别考虑进位和取余当前的数字

当前位：$C_0=(A_0\ast B_1{B}_0+t)\%10$

进位：$t=(A_0\ast B_1{B}_0)/10$

注意：这里是把B看成一个整体，而不是和一般的乘法一样。这样b方便计算，同时也方便存储（直接存为int就行）。

例题：高精度乘法

给定两个非负整数（不含前导 0） A 和 B，请你计算 A×B 的值。

输入格式

共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。

输出格式

共一行，包含 A×B 的值。

数据范围

$1\le A的长度\le 100000$,
$0\le B\le 10000$

输入样例：

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输出样例：

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算法模板

#include 
#include 

using namespace std;


vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;

    //进位
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size()) t += A[i] * b;
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}


int main()
{
    string a;
    int b;

    cin >> a >> b;

    vector<int> A;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- ) A.push_back(a[i] - '0');

    auto C = mul(A, b);

    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- ) printf("%d", C[i]);

    return 0;
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核心模板

if (i < A.size()) t += A[i] * b;
C.push_back(t % 10);
t /= 10; 
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高精度除法

计算过程

高精度除法的通式如下：

仿照求解除法的过程，可以设计高精度除法算法如下：

最开始余数r为0

（核心模板）

• $r=r\ast 10+A_3$

• $C_3=(r\ast 10+A_3)/b$ ;

• $r=r\%b$

例题：高精度除法

给定两个非负整数（不含前导 0） A，B，请你计算 A/B 的商和余数。

输入格式

共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。

输出格式

共两行，第一行输出所求的商，第二行输出所求余数。

数据范围

$1\le A的长度\le 100000$
$1\le B\le 10000$
B 一定不为 0

输入样例：

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输出样例：

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算法模板

#include
using namespace std;

vector<int> div(vector<int> &A, int b, int &r)
{
    vector<int> C;
    r = 0;
    //这里r为余数

    for(int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)
    {
        //余数*10加下一位，输出本位数字为r/b，接着继续取余r
        r = r *10 + A[i];
        C.push_back(r / b);
        r %= b;
    }
    //由于除法存储是由高到低顺序的，但是通用输出是由低位到高位逆序的，因此这里reverse一下。
    reverse(C.begin(), C.end());

    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}


int main()
{
    string a;
    int b;

    cin >> a >> b;
    vector<int> A;
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) A.push_back(a[i] - '0');

    int r;
    auto C = div(A, b,r);
    for(int i = C.size() -1 ; i >= 0; i--)printf("%d",C[i]);

    cout << endl << r << endl;
    return 0;

}
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