[Codeforces] number theory (R1200) Part.9

[Codeforces] number theory (R1200) Part.9

题单:https://codeforces.com/problemset/page/6?tags=number%20theory,0-1200

1533A. Digits Sum

原题指路:https://codeforces.com/problemset/problem/1553/A

题意

对整数$x$,定义$S(x)$为$x$的十进制表示的所有数码之和.称一个整数$x$是好的,如果$S(x+1)<S(x)$.给定一个整数$n$,求$[1,n]$中好的数的个数.

有$t(1\le t\le 1000)$组测试数据.每组测试数据输入一个整数$n(1\le n\le 1\mathrm{e}9)$.

思路

显然只有以$9$结尾的整数符合条件,问题转化为求$[1,n]$中以$9$结尾的数的个数.$ans=\lfloor \frac{n+1}{10}\rfloor$,即先将$[1,n]$中的数都$+1$,再考察其中$10$的倍数的个数.

代码

void solve() {
	int n; cin >> n;
  cout << (n + 1) / 10 << endl;
}

int main() {
	CaseT  // 单测时注释掉该行
	solve();
}
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1562B. Scenes From a Memory

原题指路:https://codeforces.com/problemset/problem/1562/B

题意

给定一个十进制表示(不含前导零)有$k$位的正整数$n$,删除其中的一些数码(不能全部删除)使得剩下的数非素数.

有$t(1\le t\le 1000)$组测试数据.每组测试数据第一行输入一个整数$k(1\le k\le 50)$.第二行输入一个整数$n(10^{k-1}\le n<10^k)$.数据保证所有测试数据的$k$之和不超过$1\mathrm{e}4$.

对每组测试数据,先输出留下的数码个数,再输出删除后得到的非素数.数据保证有解,若有多组解,输出任一组.

思路

非素数即$1$或偶数.

①若$n$中包含数码$1,4,6,8,9$,显然可只保留这些数码.

②若$n$包含两个相同的数码,则它能被$11$整除,可只保留这两个相同的数码.

③若$n$包含数码$2$或$5$且它们不在首位,则只需将它们后面的数码都删除.

​ 注意到还可只保留数码$2$或$5$及其前面一位,即构造一个两位数的答案.

④若上述情况都不满足,因数据保证有解,则$n$中存在两数码之和是$3$的倍数,

​ 则由它们组成的两位数也是$3$的倍数.

综上,$k\ge 2$时,恒存在一个两位数的答案.

预处理出两位数的素数,枚举$n$中剩下的两个数码即可,时间复杂度$O(k^2)$,所有测试数据的$k$之和不超过$1\mathrm{e}4$,可过.

代码

const int MAXN = 105;
bool prime[MAXN];

void init() {
  for (int i = 2; i < MAXN; i++) {
    prime[i] = true;
    for (int j = 2; j * j <= i; j++) 
      if (i % j == 0) prime[i] = false;
  }
}

void get(int n, string s) {
  for (auto ch : s) {
    if (ch == '1' || ch == '4' || ch == '6' || ch == '8' || ch == '9') {
      cout << 1 << endl << ch << endl;
      return;
    }
  }

  for (int i = 0; i < n; i++) {
    for (int j = i + 1; j < n; j++) {
      int tmp = (s[i] - '0') * 10 + s[j] - '0';
      if (!prime[tmp]) {
        cout << 2 << endl << tmp << endl;
        return;
      }
    }
  }
}

void solve() {
	init();

  CaseT{
    int n; string s; cin >> n >> s;
    get(n, s);
  }
}

int main() {
	solve();
}
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1581A. CQXYM Count Permutations

原题指路:https://codeforces.com/problemset/problem/1581/A

题意

求满足如下条件的长度为$2n$的$1\sim 2n$的排列的个数,答案对$1\mathrm{e}9+7$取模:满足$p_i<p_{i+1}$的下标$i$的个数不少于$n$.

有$t$组测试数据.每组测试数据输入一个整数$n(1\le n\le 1\mathrm{e}5)$.数据保证所有测试数据的$n$之和不超过$1\mathrm{e}5$.

思路

称一个排列的值为满足$p_i<p_{i+1}$的下标$i$的个数.将一个值为$i$的排列倒序可得值为$(2n-i)$的排列,则所有值$<n$的排列构成的集合与所有值$\le n$的排列构成的集合间存在双射,则答案为每个集合的大小,即$ans=\frac{1}{2}\cdot (2n)!$.

代码

const int MAXN = 2e5 + 5;
const int MOD = 1e9 + 7;
int fac[MAXN], ifac[MAXN];

void init() {
  fac[0] = 1;
  for (int i = 1; i < MAXN; i++) fac[i] = (ll)fac[i - 1] * i % MOD;
  ifac[MAXN - 1] = qpow(fac[MAXN - 1], MOD - 2, MOD);
  for (int i = MAXN - 1; i; i--) ifac[i - 1] = (ll)ifac[i] * i % MOD;
}

void solve() {
	init();

  CaseT {
    int n; cin >> n;
    cout << (ll)fac[2 * n] * qpow(2, MOD - 2, MOD) % MOD << endl;
  }
} 

int main() {
	solve();
}
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1583A. Windblume Ode

原题指路:https://codeforces.com/problemset/problem/1583/A

题意

给定一个包含$n$个相异元素的序列$a_1,\cdots ,a_n$,从其中选出最多个元素,使得它们之和非素数,输出选择的元素的个数和下标.可以证明必有解.

有$t(1\le t\le 100)$组测试数据.每组测试数据第一行输入一个整数$n(3\le n\le 100)$.第二行输入$n$个相异的整数$a_1,\cdots ,a_n(1\le a_i\le 200)$.

思路

(1)$a_i(1\le i\le n)$都为偶数时,显然它们之和是$>2$的偶数,取整个序列即可.

(2)$a_i(1\le i\le n)$不全为偶数时,至少存在一个奇数.

​ ①若所有元素之和为偶数,显然该偶数$>2$,取整个序列即可.

​ ②若所有元素之和为奇数,减去一个奇数将其转化为情况①,显然得到的偶数$>2$.

代码

bool check(int x) {  // 判断x是否是素数
	if (x <= 2) return x == 2;
	
	for (int i = 2; i <= sqrt(x); i++)
		if (x % i == 0) return false;
	return true;
}

void solve() {
	int n; cin >> n;
	vi a(n + 1);
	int odd = -1;  // 奇数的下标
	int sum = 0;  // 元素之和
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> a[i];
		sum += a[i];
		if (odd == -1 && a[i] & 1) odd = i;
	}

	if (check(sum)) {
		cout << n - 1 << endl;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (i != odd) cout << i << ' ';
		cout << endl;
	}
	else {
		cout << n << endl;
		for (int i = 1; i <= n; i++) cout << i << ' ';
		cout << endl;
	}
}

int main() {
	CaseT  // 单测时注释掉该行
	solve();
}
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1593D1. All are Same

原题指路:https://codeforces.com/problemset/problem/1593/D1

题意

给定一个长度为$n$的序列$a_1,\cdots ,a_n$,选定一个正整数$k$,每次操作选择一个下标$i(1\le i\le n)$,令$a_i-=k$.经若干次(可能为零次)操作后序列中所有元素相等,求$k$的最大值.若$k$可任意大,输出$-1$.

有$t(1\le t\le 10)$组测试数据.每组测试数据第一行输入一个偶数$n(4\le n\le 40)$.第二行输入$n$个整数$a_1,\cdots ,a_n(-1\mathrm{e}6\le a_i\le 1\mathrm{e}6)$.数据保证所有测试数据的$n$之和不超过$100$.

思路

①若序列中所有元素相等,显然$k$可任意大.

②若序列中元素不全相等,设$a_{min}$是序列中最小的元素,显然$k=\underset{1\le i\le n}{\gcd }(a_i-a_{min})$.

代码

void solve() {
	int n; cin >> n;
	vi a(n);
	bool different = false;  // 记录序列a[]是否所有元素都相等
	int minnum = INF;
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> a[i];
		minnum = min(minnum, a[i]);
		different |= a[i] != a[0];
	}

	if (!different) cout << -1 << endl;
	else {
		int ans = 0;
		for (int i = 0; i < n; i++) ans = gcd(ans, a[i] - minnum);
		cout << ans << endl;
	}
}

int main() {
	CaseT  // 单测时注释掉该行
	solve();
}
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1605A. A.M. Deviation

原题指路:https://codeforces.com/problemset/problem/1605/A

题意

对三个整数$a_1,a_2,a_3$,定义它们的算术平均偏差$d(a_1,a_2,a_3)=|a_1+a_3-2a_2|$.现有操作:选择两个下标 i , j    ( i , j ∈ { 1 , 2 , 3 } , i ≠ j ) i,j\ \ (i,j\in\{1,2,3\},i\neq j) i,j  (i,j∈{1,2,3},i=j),令$a_i++,a_j--$.求经过若干次(可能为零次)操作后$d(a_1,a_2,a_3)$的最小值.

有$t(1\le t\le 5000)$组测试数据.每组测试数据输入三个整数$a_1,a_2,a_3(1\le a_1,a_2,a_3\le 1\mathrm{e}8)$.

思路

①令$a_1++,a_3--$或令$a_3++,a_1--$都不改变$d(a_1,a_2,a_3)$.

②令$a_1(a_3)++,a_2--$会使得$d(a_1,a_2,a_3)+3$.

③令$a_1(a_3)--,a_2++$会使得$d(a_1,a_2,a_3)-3$.

注意到若加减$3$的倍数次,则$d(a_1,a_2,a_3)$的值在模$3$意义下不变:

①若$d(a_1,a_2,a_3)\equiv 0(\mathrm{mod}3)$,则$d(a_1,a_2,a_3)$的最小值为$|0|=0$.

②若$d(a_1,a_2,a_3)\equiv 1(\mathrm{mod}3)$,则$d(a_1,a_2,a_3)$的最小值为$|1|=1$.

③若$d(a_1,a_2,a_3)\equiv 2(\mathrm{mod}3)$,则$d(a_1,a_2,a_3)$的最小值为$|2-3|=1$.

综上,若初始时$d(a_1,a_2,a_3)$是$3$的倍数,则$ans=0$;否则$ans=1$.

代码

void solve() {
	int sum = 0;
	for (int i = 0; i < 3; i++) {
		int a; cin >> a;
		sum += a;
	}

	cout << (sum % 3 ? 1 : 0) << endl;
}

int main() {
	CaseT  // 单测时注释掉该行
	solve();
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1609A. Divide and Multiply

原题指路:https://codeforces.com/problemset/problem/1609/A

题意

给定一个长度为$n$的序列$a_1,\cdots ,a_n$.现有操作:选一对下标$i,j(1\le i,j\le n,i\ne j)$,其中$a_i$是$2$的倍数,令$a_i/=2,a_j\ast =2$.求经若干次(可能为零次)操作后序列元素之和的最大值.

有$t(1\le t\le 1\mathrm{e}4)$组测试数据.每组测试数据第一行输入一个整数$n(1\le n\le 15)$.第二行输入$n$个整数$a_1,\cdots ,a_n(1\le a_i<16)$.

思路

显然应让$a[]$中最大的数乘尽量多次$2$,能乘的最大次数即其他元素能整除$2$的最大次数.

代码

void solve() {
	int n; cin >> n;
	vl a(n);
	int s = 0;  // 除以2的次数
	for (auto& ai : a) {
		cin >> ai;
		while (ai % 2 == 0) {
			ai >>= 1;
			s++;
		}
	}

	sort(all(a), greater());
	a[0] *= ((ll)1 << s);
  
	ll sum = 0;
	for (int i = 0; i < n; i++) sum += a[i];
	cout << sum << endl;
}

int main() {
	CaseT  // 单测时注释掉该行
	solve();
}
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1617B. GCD Problem

原题指路:https://codeforces.com/problemset/problem/1617/B

题意 ($2\mathrm{s}$)

给定一个正整数$n$,求三个相异的正整数$a,b,cs.t.a+b+c=n,\gcd (a,b)=c$.

有$t(1\le t\le 1\mathrm{e}5)$组测试数据.每组测试数据输入一个整数$n(10\le n\le 1\mathrm{e}9)$.

思路I

注意到$n\ge 10$时,固定$c=1$必有解.

枚举$a=2,3,\cdots$,对每个$a$,令$b=n-a-1$,检查$\gcd (a,b)=1$是否成立.该方法不会超时是因为至少存在一个素数$p\le 29s.t.p\nmid (n-1)$.

代码I

void solve() {
	int n; cin >> n;
	
	for (int a = 2;; a++) {
		int b = n - a - 1;
		if (a != b && gcd(a, b) == 1) {
			cout << a << ' ' << b << ' ' << 1 << endl;
			return;
		}
	}
}

int main() {
	CaseT  // 单测时注释掉该行
	solve();
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思路II

随机$a$的值,其余同思路I.

代码II

mt19937 rng(time(0));

void solve() {
	int n; cin >> n;
	
	while (true) {
		int a = uniform_int_distribution(2, n - 2)(rng);
		int b = n - a - 1;
		if (a != 1 && b != 1 && a != b && gcd(a, b) == 1) {
			cout << a << ' ' << b << ' ' << 1 << endl;
			return;
		}
	}
}

int main() {
	CaseT  // 单测时注释掉该行
	solve();
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思路III

构造:

①$n\equiv 0(\mathrm{mod}2)$时,取$(a,b,c)=(n-3,2,1)$.

②$n\equiv 1(\mathrm{mod}4)$时,取$(a,b,c)=\left(\lfloor \frac{n}{2}\rfloor -1,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +1,1\right)$.

③$n\equiv 3(\mathrm{mod}4)$时,取$(a,b,c)=\left(\lfloor \frac{n}{2}\rfloor -2,\lfloor \frac{n}{2}\rfloor +2,1\right)$.

代码III

void solve() {
	int n; cin >> n;
	
	if (n % 2 == 0) cout << n - 3 << ' ' << 2 << ' ' << 1 << endl;
	else if (n % 4 == 1) cout << n / 2 - 1 << ' ' << n / 2 + 1 << ' ' << 1 << endl;
	else cout << n / 2 - 2 << ' ' << n / 2 + 2 << ' ' << 1 << endl;
}

int main() {
	CaseT  // 单测时注释掉该行
	solve();
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1629B. GCD Arrays

原题指路:https://codeforces.com/problemset/problem/1629/B

题意

给定两整数$l,r$,定义序列$a[]$为$l,l+1,\cdots ,r$.现有操作:选择$a$中的两元素,将它们的替换为它们之积.问至多$k$次操作后能否使得序列的所有元素的$\gcd >1$,若能则输出"YES";否则输出"NO".

有$t(1\le t\le 1\mathrm{e}5)$组测试数据.每组测试数据输入三个整数$l,r,k(1\le l\le r\le 1\mathrm{e}9,0\le k\le r-1)$.

思路

显然每次操作可合并两个数的素因子.为使得所有元素的$\gcd >1$且步数尽量少,因序列$a[]$是连续整数,故取$\gcd =2$最优,所需的最少步数为序列中奇数的个数,即序列长度$-$序列中偶数的个数,具体地,$step=(r-l+1)-\left(\lfloor \frac{r}{2}\rfloor -\lfloor \frac{l-1}{2}\rfloor \right)$.

注意特判$l=r$的情况,此时若$l=r=1$,答案为"NO";否则答案为"YES";

代码

void solve() {
	int l, r, k; cin >> l >> r >> k;
	
	if (l == r) cout << (l == 1 ? "NO" : "YES") << endl;
	else {
		int ans = (r - l + 1) - (r / 2 - (l - 1) / 2);
		cout << (k >= ans ? "YES" : "NO") << endl;
	}
}

int main() {
	CaseT  // 单测时注释掉该行
	solve();
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1656C. Make Equal With Mod

原题指路:https://codeforces.com/problemset/problem/1656/C

题意

给定一个长度为$n$的序列$a_1,\cdots ,a_n$.现有操作:选定一个整数$x\ge 2$,将所有$a_i\%=x(1\le i\le n)$.问若干次(可能为零次)操作后是否能使得序列中所有元素相等,若能则输出"YES";否则输出"NO".

有$t(1\le t\le 1\mathrm{e}4)$组测试数据.每组测试数据第一行输入一个整数$n(1\le n\le 1\mathrm{e}5)$.第二行输入$n$个整数$a_1,\cdots ,a_n(0\le a_i\le 1\mathrm{e}9)$.数据保证所有测试数据的$n$之和不超过$2\mathrm{e}5$.

思路

①若序列中不存在$1$,则每次取$x=\underset{1\le i\le n}{\max }{a}_i$,即每次将序列中的最大值置为$0$,答案为"YES".

②若序列中存在$1$且不存在相邻的两数$m,m+1$,则每次取$x=\underset{1\le i\le n}{\max }{a}_i-1$,

​ 最终将所有元素变为都是$1$,答案为"YES".

③若序列中存在$1$且存在相邻的两数$m,m+1$,则将其中一个数变为$1$时会使得另一个数变为$0$,

​ 故无法将所有元素变为都相等,答案为"NO".

代码

int main() {
	CaseT{
		int n; cin >> n;
		vi a(n);
		bool same = true;  // 记录是否所有元素都相等
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			cin >> a[i];
			if (a[i] != a[0]) same = false;
		}

		if (same || n == 1) {
			cout << "YES" << endl;
			continue;
		}
		
		sort(a.begin(), a.end());
		
		bool one = false;  // 记录数组中是否有1
		bool adjancent = false;  // 记录数组中是否有相邻的数
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			if (a[i] == 1) one = true;
			if (i < n - 1 && a[i] + 1 == a[i + 1]) adjancent = true;
		}
		cout << ((one && adjancent) ? "NO" : "YES") << endl;
	}
}
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