人工智能的数学基础------- 矩阵迹与相似矩阵的本质

矩阵相似

矩阵A和矩阵B相似的定义
$存在一个可逆矩阵P，使得A=PB{P}^{-1}$
这个定义是如此的深刻，以至于刚开始我看了n篇都不明白这啥就让两个矩阵相似了。
直到网上有牛人说各个相似矩阵就是给一头猪拍的不同角度的照片！

矩阵相似的几何意义

线性变换用矩阵表示是与空间的一组基相联系的。一般情况下，一个线性变换就是一个描述，比如平面旋转π/4弧度的变换，比如四维空间对于一个平面镜像的变换等。那么要把这些线性变换转化为矩阵，就要根据情况选择某一个坐标系及其单位等。选择坐标系及其单位就是确定某一个基。所以一个线性变换在不同的基下的表示矩阵是不相同的，下面的定义及定理揭示了同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的相互关系。
换。
相似方阵A和B满足 A=PBP⁻¹, 那么矩阵A变换到矩阵B的过程，被称为矩阵的相似变换。

实际上，相似矩阵A和B是同一个线性变换(在同一线性空间中)在两个不同基下的表示矩阵，而可逆矩阵P就是基变换矩阵。

总的来说：

相似矩阵A和B是同一个线性变化在两个不同基下的表示矩阵

相似对角化

由上文可知，既然对于同一个线性变化我们可以相似变化到另一个好算的矩阵上去研究。那么这个莫过于用原矩阵的特征向量当基，矩阵为对角矩阵了。

其实，我们很朴素地想一想特征向量的定义式Ax=λx，这公式本身就是一种简化：矩阵A对特征向量x的变换结果Ax等于一个常数(特征值)λ对特征向量x的变换结果λx。这样看来，矩阵的对角简化与特征向量的联系就不突然了。实际上，想把A对角化，就要有足够的特征向量形成R"| 的一个基。

因此，线性变换的相似对角化实质是寻找一个适当的坐标系，使得该变换对这个新的坐标系上的单位向量(或基向量)只做伸缩变换、不做旋转变换。

矩阵的迹

由上边相似对角化的解释我们可以知道，
$存在一个可逆矩阵P，使得A=PB{P}^{-1}$
在相似对角化时候，矩阵P的每个列都是由A的特征向量组成的，特征向量用旧基上的坐标表示。

虽然向量空间采用不同基向量表达时，同一线性变换对应的变换矩阵并不相同。但实际上，这些矩阵之间是相似的，也就是说，相同的线性变换在相似矩阵上留下了一些要追寻的痕迹。实际上，相似矩阵的对角线元素和一定相等。而矩阵的迹的定义恰好就是矩阵对角线上元素之和。

参考书籍

1. 《人工智能的数学基础》 冯朝路
2. 《线性代数的集合意义》 任广千