深度学习九 —— 手撕 一维离散序列 的线性卷积 和 互相关

手撕 一维离散序列 的线性卷积 和 互相关

线性卷积

公式

一维离散线性卷积的计算公式如下：

$$(a\ast v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }a[m]v[n-m]$$

其中：

$a,v$——数字序列；

$n$——移位的位数。

numpy中的convolve函数

numpy.convolve(a, v, mode="full")
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假定序列$a$长度为$N$，序列$v$长度为$M$，则有

• $mode{=}^{\prime }ful{l}^{\prime }$，则结果序列长度$=N+M-1$，包括重合的端点处的卷积结果，有边界效应
• $mode{=}^{\prime }sam{e}^{\prime }$，则结果序列长度$=\max (N,M)$，有边界效应
• $mode{=}^{\prime }vali{d}^{\prime }$，则结果序列长度$=\max (N,M)-\min (N,M)+1$，只返回卷积核和输入序列完全重合时的结果，没有边界效应

注意： 在实际计算时，需要序列$a$大于$v$，否则$numpy$内部会自动交换顺序

手撕 convolve

def convolve(a, v):
    r = []
    a = dict(enumerate(a))
    v = dict(enumerate(v))
    for i in range(len(a) + len(v) - 1):
        s = 0
        for j in range(len(a)):
            s += a[j] * v.get(i - j, 0)
        r.append(s)
    return r
 
if __name__ == "__main__":
    nums1 = [10, 13, 16, 19, 22, 25, 28]
    nums2 = [20, 22, 24]
 
    print(np.convolve(nums1, nums2, mode="full").tolist())
    print(convolve(nums1, nums2))
 
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最终得到结果为：

[200, 480, 846, 1044, 1242, 1440, 1638, 1216, 672]
[200, 480, 846, 1044, 1242, 1440, 1638, 1216, 672]
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互相关

公式

$$(a\ast v)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{a}^{\ast }[m]v[n+m]$$

其中，

$a,v$——数字序列；

$n$——移位位数；

$a^{\ast }$——$a$序列值的复数共轭，即实部不变，虚部取反。

根据互相关的公式，我们可以得到在实数范围内，$a^{\ast }=a$。

此时，通过比较两个公式可以得到：序列$a$与序列$v$反转后的序列 的 卷积 == 序列$a$ 与 序列$v$的互相关

numpy互相关计算

numpy.correlate(a, v, mode)
1

• $mode=‘valid’$：只返回有效的那一部分相关数据，共$M-N+1$个；

• $mode=‘same’$：只返回与 等长的那一部分相关数据，共$N$个；

• $mode=‘full’$：返回全部相关数据，共$M+N-1$个。

手撕 correlate

根据公式中的结论，在实数范围内，

序列$a$与序列$v$反转后的序列 的 卷积 == 序列$a$ 与 序列$v$的互相关

import numpy as np
def convolve(a, v):
    r = []
    a = dict(enumerate(a))
    v = dict(enumerate(v))
    for i in range(len(a) + len(v) - 1):
        s = 0
        for j in range(len(a)):
            s += a[j] * v.get(i - j, 0)
        r.append(s)
    return r
 
if __name__ == "__main__":
    nums1 = [10, 13, 16, 19, 22, 25, 28]
    nums2 = [20, 22, 24]
    print(np.correlate(nums1, nums2, mode="full").tolist())
    print(convolve(nums1, nums2[::-1]))
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得到结果为：

[240, 532, 870, 1068, 1266, 1464, 1662, 1116, 560]
[240, 532, 870, 1068, 1266, 1464, 1662, 1116, 560]
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