定义：如果对任意
x
,
y
x,y
x,y都有
P
{
X
≤
x
,
Y
≤
y
}
=
P
{
X
≤
x
}
P
{
Y
≤
y
}
P \left\{X \leq x,Y \leq y\right\}=P \left\{X \leq x\right\}P \left\{Y \leq y\right\}
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}
即
F
(
x
,
y
)
=
F
X
(
x
)
F
Y
(
y
)
F(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)
F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称随机变量
X
X
X与
Y
Y
Y相互独立
离散型随机变量
X
X
X和
Y
Y
Y相互独立的充要条件：对任意
i
,
j
=
1
,
2
,
⋯
i,j=1,2,\cdots
i,j=1,2,⋯成立
P
{
X
=
x
i
,
Y
=
y
j
}
=
P
{
X
=
x
i
}
P
{
Y
=
y
j
}
P \left\{X=x_{i},Y=y_{j}\right\}=P \left\{X=x_{i}\right\}P \left\{Y =y_{j}\right\}
P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}
即
p
i
j
=
p
i
⋅
p
⋅
j
p_{ij}=p_{i \cdot }p_{\cdot j}
pij=pi⋅p⋅j
连续型随机变量
X
X
X和
Y
Y
Y相互独立的充要条件：对任意
x
,
y
x,y
x,y，成立
f
(
x
,
y
)
=
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)
f(x,y)=fX(x)fY(y)
从这里可以看出来，边缘概率密度对应的边缘概率
可将两个随机变量的独立性推广到两个以上随机变量的情形
例1：设随机变量 X X X和 Y Y Y相互独立，已知 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)的联合分布部分数值
| X Y X \ Y X Y | 1 1 1 | 2 2 2 |
|---|---|---|
| 1 1 1 | 1 6 \frac{1}{6} 61 | 1 2 \frac{1}{2} 21 |
| 2 2 2 |
由题目条件
p
11
=
1
6
,
p
12
=
1
2
p_{11}= \frac{1}{6},p_{12}=\frac{1}{2}
p11=61,p12=21，故
p
i
⋅
=
p
11
+
p
12
=
2
3
p_{i \cdot }=p_{11}+p_{12}= \frac{2}{3}
pi⋅=p11+p12=32
又根据
X
X
X和
Y
Y
Y相互独立，可知
p
11
=
p
1
⋅
⋅
p
⋅
1
p_{11}=p_{1\cdot }\cdot p_{\cdot 1}
p11=p1⋅⋅p⋅1，即
p
⋅
1
=
1
4
p_{\cdot 1}=\frac{1}{4}
p⋅1=41
现要求
P
{
X
=
2
,
Y
=
1
}
=
p
21
=
p
2
⋅
p
⋅
1
=
(
1
−
p
1
⋅
)
1
4
=
1
12
P \left\{X=2,Y=1\right\}=p_{21}=p_{2\cdot }p_{\cdot 1}=(1-p_{1\cdot }) \frac{1}{4}=\frac{1}{12}
P{X=2,Y=1}=p21=p2⋅p⋅1=(1−p1⋅)41=121
考虑联合分布和边缘分布关系，有，凡是边缘分布均不为 0 0 0，而联合分布的某个 p i j = 0 p_{ij}=0 pij=0，则必可断定联合分布所对应的两个随机变量是不相互独立的
一般给定边缘分布均不为 0 0 0，所以看到联合分布律中有一个 p i j = 0 p_{ij}=0 pij=0，则 X X X和 Y Y Y就一定不独立，反之，如果所有的 p i j ≠ 0 p_{ij}\ne 0 pij=0，并不能保证 X X X和 Y Y Y相互独立