【概率论基础进阶】多维随机变量及其分布-二维随机变量及其分布

一、二维随机变量

定义：设$X=X(\omega ),Y=Y(\omega )$是定义在样本空间$\Omega$上的两个随机变量，则称向量$(X,Y)$为二维随机变量，或随机变量

定义：设二维随机变量$(X,Y)$，对任意实数$x,y$，二元函数
F ( x , y ) = P { X ≤ x , Y ≤ y } , − ∞ < x , y < + ∞ F(x,y)=P \left\{X \leq x,Y \leq y\right\},-\inftyF(x,y)=P{X≤x,Y≤y},−∞<x,y<+∞
称为二维随机变量$(X,Y)$的分布函数，或称随机变量$X$和$Y$的联合分布函数

分布函数$F(x,y)$的性质

• 对任意$x,y$，均有$0\le F(x,y)\le 1$
• $F(-\infty ,y)=F(x,-\infty )=F(-\infty ,-\infty )=0,F(+\infty ,+\infty )=1$
• $F(x,y)$关于$x$和关于$y$均单调不减
• $F(x,y)$关于$x$和关于$y$是右连续的
• P { a < X ≤ b , c < Y ≤ d } = F ( b , d ) + F ( a , c ) − F ( b , c ) − F ( a , d ) P \left\{aP{a<X≤b,c<Y≤d}=F(b,d)+F(a,c)−F(b,c)−F(a,d)

二维随机变量$(X,Y)$的分布函数为$F(x,y)$，分别称 F X ( x ) = P { X ≤ x } F_{X}(x)=P \left\{X \leq x\right\} FX​(x)=P{X≤x}和 F Y ( y ) = P { Y ≤ y } F_{Y}(y)=P \left\{Y \leq y\right\} FY​(y)=P{Y≤y}为$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布
显然，边缘分布$F_X(x)$和$F_Y(y)$与二维随机变量$F(x,y)$有如下关系：

• F X ( x ) = P { X ≤ x } = P { X ≤ x , y < + ∞ } = F ( x , + ∞ ) F_{X}(x)=P \left\{X \leq x\right\}=P \left\{X \leq x,y<+\infty\right\}=F(x,+\infty) FX​(x)=P{X≤x}=P{X≤x,y<+∞}=F(x,+∞)
• F Y ( y ) = P { Y ≤ y } = P { X < + ∞ , Y ≤ y } = F ( + ∞ , y ) F_{Y}(y)=P \left\{Y \leq y\right\}=P \left\{X < +\infty,Y \leq y\right\}=F(+\infty,y) FY​(y)=P{Y≤y}=P{X<+∞,Y≤y}=F(+∞,y)

这里$F(x,+\infty )$应理解为$\underset{y\to +\infty }{\lim }F(x,y)$

定义：如果对于任意给定的 ξ > 0 , P { y − ξ < Y ≤ y + ξ } > 0 \xi >0,P \left\{y-\xi 0 ξ>0,P{y−ξ<Y≤y+ξ}>0
lim ⁡ ξ → 0 + P { X ≤ x ∣ y − ξ < Y ≤ y + ξ } = lim ⁡ ξ → 0 + P { X ≤ x , y − ξ < Y ≤ y + ξ } P { y − ξ < Y ≤ y + ξ } \lim\limits_{\xi \to 0^{+}}P \left\{X \leq x|y-\xi ξ→0+lim​P{X≤x∣y−ξ<Y≤y+ξ}=ξ→0+lim​P{y−ξ<Y≤y+ξ}P{X≤x,y−ξ<Y≤y+ξ}​
存在，则称此极限为在条件$Y=y$下$X$的条件分布，记作$F_{X|Y}(x|y)$或 P { X ≤ x ∣ Y = y } P \left\{X \leq x|Y=y\right\} P{X≤x∣Y=y}
类似地可以定义$F_{Y|X}(y|x)$

二、二维离散型随机变量

定义：如果随机变量$(X,Y)$可能取值为有限个或可数无穷个$(x_i,y_i),(i,j=1,2,\cdots )$则称$(X,Y)$为二维离散型随机变量

定义：二维离散型随机变量$(X,Y)$的可能取值为$(x_i,y_i),(i,j=1,2,\cdots )$称
P { X = x i , Y = y i } = p i j , i , i = 1 , 2 , ⋯ P \left\{X=x_{i},Y=y_{i}\right\}=p_{ij},i,i=1,2,\cdots P{X=xi​,Y=yi​}=pij​,i,i=1,2,⋯
为二维离散型随机变量$(X,Y)$的概率分布或分布律
也可以用表格表示分布律

分布律$p_{ij}$的性质

• $p_{ij}\ge 0,i,j=1,2,\cdots$
• $\sum _i\sum _j{p}_{ij}=1$

定义： p i ⋅ = P { X = x i } , i = 1 , 2 , ⋯ p_{i \cdot }=P \left\{X=x_{i}\right\},i=1,2,\cdots pi⋅​=P{X=xi​},i=1,2,⋯和 p ⋅ y = P { Y = y j } , j = 1 , 2 , ⋯ p_{\cdot y}=P \left\{Y=y_{j}\right\},j=1,2,\cdots p⋅y​=P{Y=yj​},j=1,2,⋯分别被称为$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘分布
显然，边缘分布$p_{i\cdot }$和$p_{\cdot j}$与二维概率分布$p_{ij}$有如下关系
p i ⋅ = P { X = x i } = ∑ j = 1 + ∞ P { X = x i , Y = y j } = ∑ j = 1 + ∞ p i j , i = 1 , 2 , ⋯ p ⋅ j = P { Y = y j } = ∑ i = 1 + ∞ P { X = x i , Y = y j } = ∑ i = 1 + ∞ p i j , j = 1 , 2 , ⋯ pi⋅=P{X=xi}=+∞∑j=1P{X=xi,Y=yj}=+∞∑j=1pij,i=1,2,⋯p⋅j=P{Y=yj}=+∞∑i=1P{X=xi,Y=yj}=+∞∑i=1pij,j=1,2,⋯ pi⋅​p⋅j​​=P{X=xi​}=j=1∑+∞​P{X=xi​,Y=yj​}=j=1∑+∞​pij​,i=1,2,⋯=P{Y=yj​}=i=1∑+∞​P{X=xi​,Y=yj​}=i=1∑+∞​pij​,j=1,2,⋯​

定义：对给定的$j$，如果 P { Y = y j } > 0 , j = 1 , 2 , ⋯ P \left\{Y=y_{j}\right\}>0,j=1,2,\cdots P{Y=yj​}>0,j=1,2,⋯，则称
P { X = x i ∣ Y = y j } = P { X i , Y = y j } P { Y = y j } = p i j p ⋅ j P \left\{X=x_{i}|Y=y_{j}\right\}=\frac{P \left\{X_{i},Y=y_{j}\right\}}{P \left\{Y=y_{j}\right\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} P{X=xi​∣Y=yj​}=P{Y=yj​}P{Xi​,Y=yj​}​=p⋅j​pij​​
为$Y=y_j$条件下随机变量$X$的条件分布

例1：袋中有$1$个红球，$2$个黑球，$3$个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一个球，以$X$和$Y$分别表示两次取球所得红球和黑球个数，试求

• 二维随机变量$(X,Y)$的概率分布
• $(X,Y)$的边缘分布
• 在$X=1$条件下$Y$的条件分布

概率分布显然可以用古典概型计算，这里省略步骤

因此边缘分布为

有
P { Y = i ∣ X = 1 } = P { X = 1 , Y = i } P { X = 1 } i = 0 , 1 , 2 P { X = 1 } = 5 18 P { Y = 0 ∣ X = 1 } = 1 6 5 18 = 3 5 P { Y = 1 ∣ X = 1 } = 1 9 5 18 = 2 5 P { Y = 2 ∣ X = 1 } = 0 5 18 = 0 P{Y=i|X=1}=P{X=1,Y=i}P{X=1}i=0,1,2P{X=1}=518P{Y=0|X=1}=16518=35P{Y=1|X=1}=19518=25P{Y=2|X=1}=0518=0 P{Y=i∣X=1}P{X=1}P{Y=0∣X=1}P{Y=1∣X=1}P{Y=2∣X=1}​=P{X=1}P{X=1,Y=i}​i=0,1,2=185​=185​61​​=53​=185​91​​=52​=185​0​=0​
因此，在$X=1$条件下$Y$的条件分布

三、二维连续型随机变量

定义：如果对随机变量$(X,Y)$的分布$F(x,y)$存在非负函数$f(x,y)$，使得对于任意实数$x$和$y$都有
$$F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dudv,-\infty <x,y<+\infty$$
则称$(X,Y)$为二维连续型随机变量，函数$f(x,y)$称为$(X,Y)$的概率密度，或称为随机变量$X$和$Y$的联合概率密度

概率密度$f(x,y)$的性质

• $f(x,y)\ge 0$
• ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1
  ∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y)dxdy=1" role="presentation" style="text-align: center; position: relative;">∫+∞−∞∫+∞−∞f(x,y)dxdy=1$$\begin{array}{r}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x,y)dxdy=1\end{array}$$
  ∫−∞+∞​∫−∞+∞​f(x,y)dxdy=1​
• 随机变量$(X,Y)$落在区域$D$内的概率
  P { ( X , Y ) ∈ D } = ∬ D f ( x , y ) d x d y P \left\{(X,Y)\in D\right\}=\iint\limits_{D}f(x,y)dxdy P{(X,Y)∈D}=D∬​f(x,y)dxdy

例2：设二维连续型随机变量$(X,Y)$的概率密度为
$$f(x,y)=\{\begin{array}{rlr}& k(x+y)& 0<y<x<1\\ & 0& 其他\end{array}$$
则常数$k=()$

由概率密度的性质
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dxdy& ={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x}k(x+y)dy\\ & =k{\int }_0^1\left(x^2+\frac{1}{2}{x}^2\right)dx\\ & =\frac{k}{2}=1\Rightarrow k=2\end{array}$$

对连续型随机变量$(X,Y)$，设它的概率密度为$f(x,y)$，由
$$F_X(x)=F(x,+\infty )={\int }_{-\infty }^x\left[{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy\right]dx$$
可知，$X$也是一个连续型变量，且其概率密度为$\begin{array}{r}{f}_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy\end{array}$

定义：$\begin{array}{r}{f}_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy\end{array}$和$\begin{array}{r}{f}_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx\end{array}$分别称为$(X,Y)$关于$X$和关于$Y$的边缘密度

定义：设$f(x,y)$在点$(x,y)$连续，$f_Y(y)$连续且$f_Y(y)>0$，则条件分布
$$F_{X|Y}(x|y)={\int }_{-\infty }^x\frac{f(s,y)}{f_Y(y)}ds$$
其中$\begin{array}{r}\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\end{array}$被称为在条件$Y=y$下的条件密度，记作$f_{X|Y}(x|y)$，即
$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},f_Y(y)>0$$
类似可定义，当$f_X(x)>0$时
$$f_Y|X(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}和F_{Y|X}(y|x)={\int }_{-\infty }^y\frac{f(x,s)}{f_X(x)}ds$$

例3：设二维连续型随机变量$(X,Y)$的概率密度为
$$f(x,y)=\{\begin{array}{rlr}& 2(x+y)& 0<y<x<1\\ & 0& 其他\end{array}$$
试求

• $f_X(x),f_Y(y)$
• $f_{X|Y}(x|y),f_{Y|X}(y|x)$

$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy$$
当$x\le 0$时，$f_X(x)=0$
当$x\ge 1$时，$f_X(x)=0$
当$0<x<1$时，
$$f_X(x)={\int }_0^{x}2(x+y)dy=3x^2$$
因此
$$f_X(x)=\{\begin{array}{rlr}& 3x^2& 0<x<1\\ & 0& 其他\end{array}$$
同理
$$f_Y(y)=\{\begin{array}{rlr}& {\int }_y^{1}2(x+y)dx=1+2y-3y^2& 0<y<2\\ & 0& 其他\end{array}$$
由于
$$f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},f_Y(y)>0$$
故当$0<y<1$时，
$$f_{X|Y}(x|y)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{2(x+y)}{1+2y-3y^2}& 0<y<x<1\\ & 0& 其他\end{array}$$
同理$0<x<1$时，
$$f_{Y|X}(y|x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{2(x+y)}{3x^2}& 0<y<x<1\\ & 0& 其他\end{array}$$

求条件概率密度时，一定要注意$f_Y(y)>0,f_X(x)>0$的条件，即上面加粗的部分一定不能漏，否则$f_{X|Y}(x|y)$中的其他会变为整个平面上的其他，而非$0<y<1$的其他
下题可能会有助于理解

例4：设$(X,Y)$是二维随机变量，$X$的边缘密度为$f_X(x)=\{\begin{array}{rlr}& 3x^2& 0<x<1\\ & 0& 其他\end{array}$，在给定$X=x(0<x<1)$的条件下，$Y$的条件概率密度为
$$f_{Y|X}(y|x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{3y^2}{x^3}& 0<y<x\\ & 0& 其他\end{array}$$

• 求$(X,Y)$的概率密度$f(x,y)$
• 求$Y$的边缘概率密度$f_Y(y)$
• 求 P { X > 2 Y } P \left\{X>2Y\right\} P{X>2Y}

$$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)},其中f_X(x)>0$$
当$0<x<1$时，即$f_X(x)>0$时
$$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_{Y|X}(y|x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{9y^2}{x}& 0<y<x\\ & 0& 其他\end{array},0<x<1$$

注意这里提前限制了当$0<x<1$时，即$f_X(x)>0$时，指的是

所有蓝色部分，$0<y<x$指的是橙色部分，式子中的其他指的是除了橙色部分的蓝色部分
但实际上，$f(x,y)$要的是全平面上的，该式只是$0<x<1,-\infty <y<+\infty$上的，因此，需要说明其他部分的值

有
$${\int }_0^{1}dx{\int }_0^x\frac{9y^2}{x}dx=1$$
因此可以确定在$0<x<1,-\infty <y<+\infty$以外的平面上$f(x,y)\equiv 0$，因此有
$$f(x,y)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{9y^2}{x}& 0<y<x<1\\ & 0& 其他\end{array}$$
有
$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx& =\{\begin{array}{rlr}& {\int }_y^1\frac{9y^2}{x}dx& 0<y<1\\ & 0& 其他\end{array}\\ & =\{\begin{array}{rlr}& -9y^2\ln y& 0<y<1\\ & 0& 其他\end{array}\end{array}$$

P { X > 2 Y } = ∬ x > 2 y f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 1 d x ∫ 0 x 2 9 y 2 x d y = 1 8 P \left\{X>2Y\right\}=\iint\limits_{x>2y}f(x,y)dxdy=\int_{0}^{1}dx \int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{9y^{2}}{x}dy=\frac{1}{8} P{X>2Y}=x>2y∬​f(x,y)dxdy=∫01​dx∫02x​​x9y2​dy=81​

例3是大的其他变成小的其他，例4是小的其他变成大的其他