Miller_Rabbin算法判断大素数

由费马小定理$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，当$p$为质数时成
立。但当$p$不为质数时该定理不一定成立。
这里用二次探测去优化这个公式。
大概内容若有$y^2\equiv 1(\mathrm{mod}p)$其中$p$为质数， y < p y

y<p
则有$y=1$或$y=p-1$
令$k=p-1=2^m\ast n$
则$(a^n{)}^{2^m}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$
随机一个数$x$去模拟公式中的$a$。若$(a^n{)}^{(...)}\%p$不为1或者
$(a^n{)}^u\%p=1,(a^n{)}^{(u+1)}\%p=p-1$则它一定不是质数。
进行十次以上的探测可以很高的概率判断素数。

using ll = long long ;
ll mul(ll a,ll b,ll p){
    ll r = 0;
    while(b) {
        if(1&b) r = (r + a) % p;
        a = (a + a) % p;
        b >>= 1;
    }
    return r;
}
ll mi(ll a, ll b, ll p){
    ll r = 1;
    while(b) {
        if(1&b) r = mul(r, a, p);
        a = mul(a, a, p);
        b >>= 1;
    }
    return r;
}
mt19937 rnd(time(NULL));
bool check(ll n){
    if(n == 1)return false;
    if(n == 2 || n == 3)return true;
    if(n + 1 & 1)return false;
    ll k = n - 1;
    int r = 0;
    while(k + 1 & 1) {
        k >>= 1;
        r ++;
    }
    ll res, la = 0;
    int cnt = 1;
    while(cnt--) {
        res = rnd() % (n - 1) + 1;
        res = mi(res, k, n);
        if(res == 1) continue;
        la = res;
        for(int i = 0; i < r; i++) {
            assert(res >= 0 && res < n);
            res = mul(res, res, n);
            if(res == 1){
                if(la != n - 1) return false;
                break;
            }
            la = res ;
        }
        if(res != 1)return false;
    }
    return true;
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50