AX=0和AX=b的解向量线性相关吗？

题目分析

前几天在b站看到这样一个题目

分析一下选项
A选项：${\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_2-{\alpha }_3$这都是AX=0的解向量，所以就是考察AX=0解的线性组合的相关性。
B选项同A选项
C选项：${\alpha }_3$是AX=b的解，而${\alpha }_1-{\alpha }_2$是AX=0的解，也就是考察齐次解和非齐次解的相关性
D选项：$r(A_n)=1$，则AX=0的基础解系只有一个解向量即为$\beta$，跟C选项考察的内容一样

题目处理

对于AB选项处理向量组线性组合的相关性问题，我们通常是给转化成矩阵乘法处理：
[ α 1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 − α 1 ] = ( α 1 , α 2 , α 3 ) ( 1 0 − 1 − 1 1 0 0 − 1 1 )

= [α1​−α2​,​α2​−α3​,​α3​−α1​​]=(α1​,​α2​,​α3​​)⎝ ⎛​1−10​01−1​−101​⎠ ⎞​
给出A=BC的形式，如何判断A向量组的相关性呢？

1. $|C|=0$，即C向量组线性相关，则A向量组一定线性相关
2. $|C|\ne 0$，即C向量组线性无关，则A向量组相关性取决于B向量组

A 选项的系数矩阵 ∣ 1 0 − 1 − 1 1 0 0 − 1 1 ∣ = 0 A选项的系数矩阵

=0 A选项的系数矩阵∣ ∣​1−10​01−1​−101​∣ ∣​=0
则A选项的向量组一定是线性相关的。A选项正确。
B 选项的系数矩阵 ∣ 1 0 1 1 1 0 0 1 1 ∣ ≠ 0 B选项的系数矩阵

|101110011|" role="presentation" style="position: relative;">∣∣∣∣110011101∣∣∣∣$$\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|$$

\ne0 B选项的系数矩阵∣ ∣​110​011​101​∣ ∣​=0
则B选项的向量组相关性取决于${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$。原题中只说这三个向量是解向量，所以既可能是线性相关，也可能是线性无关。B正确。

CD选项：
齐次的通解$\xi$是否能表示非齐次的解呢？
非齐次的通解是由齐次的通解$\xi$和非齐次的特解$\zeta$所组成的，那么问题变成$\zeta$可以由$\xi$表示吗？
我们不妨假设$\zeta$可以由$\xi$表示，那么非齐次的通解实际上仅由$\xi$表示就足够了，没有必要弄出一个特解$\zeta$是吧。这就不符合我们之前非齐次解的结构。所以说特解$\zeta$是不能由齐次通解$\xi$所线性表示。即AX=b的解向量中有$n-r(A)+1$个线性无关的解向量。
那么本题的C选项就是正确的
而D选项中，可以得到$\beta$是AX=0的基础解系，而${\alpha }_1-{\alpha }_2$是AX=0的解，那么就有
$${\alpha }_1-{\alpha }_2=k\beta$$
则说明${\alpha }_1,{\alpha }_2,\beta$线性相关了。