相似矩阵：
B
=
M
−
1
A
M
\boldsymbol{B}=\boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{M}
B=M−1AM，同一个线性变换，在不同坐标系表现为不同相似矩阵（两矩阵特征值相同，但特征向量不同）
引入特征值和特征向量
A
x
=
λ
x
\boldsymbol{A} \mathbf{x}=\lambda \mathbf{x}
Ax=λx
对于具有n个无关特征向量的矩阵，可以实施相似对角化：
A
=
S
−
1
Λ
S
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{S}^{-1} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{S}
A=S−1ΛS（对角阵
Λ
\boldsymbol{\Lambda}
Λ保持特征值，
S
\boldsymbol{S}
S保存特征向量） 优势：计算矩阵幂更方便
A
k
=
S
−
1
Λ
k
S
\boldsymbol{A}^{k}=\boldsymbol{S}^{-1} \boldsymbol{\Lambda}^{k} \boldsymbol{S}
Ak=S−1ΛkS 应用：微分方程
d
u
/
d
t
=
A
u
\mathrm{d} \mathbf{u} / \mathrm{dt}=\boldsymbol{A} \mathbf{u}
du/dt=Au和矩阵指数形式
e
A
t
e^{\boldsymbol{A} t}
eAt
对称矩阵：
A
=
A
T
或
A
=
A
H
(
复数矩阵
)
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^T或\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}^H(复数矩阵)
A=AT或A=AH(复数矩阵) 一定能得到n个正交的特征向量（即使有重特征值，也有足够的线性无关特征向量），一定有实数特征值 对称阵对角化更加简洁：
A
=
Q
Λ
Q
T
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{T}
A=QΛQT（特征向量矩阵为正交矩阵，满足
Q
−
1
=
Q
T
\boldsymbol{Q}^{-1}=\boldsymbol{Q}^T
Q−1=QT）
正定矩阵，在对称阵基础上，还有正实数特征值，可用于判断二次型的几何图像特征
奇异值分解SVD：
A
=
U
Σ
V
T
\boldsymbol{A}=\boldsymbol{U} \boldsymbol{\Sigma} \boldsymbol{V}^{T}
A=UΣVT
例题
Eg1 各种矩阵的特征值特点
对于某矩阵
A
\mathbf A
A，其特征值
λ
1
=
0
,
λ
2
=
c
,
λ
3
=
2
\lambda_{1}=0, \lambda_{2}=c, \lambda_{3}=2
λ1=0,λ2=c,λ3=2 特征向量
x
1
=
[
1
1
1
]
,
x
2
=
[
1
−
1
0
]
,
x
3
=
[
1
1
−
2
]
\mathbf{x} 1=\left[111\right] , \mathbf{x} 2=\left[1−10\right], \mathbf{x} 3=\left[11−2\right]
x1=⎣⎡111⎦⎤,x2=⎣⎡1−10⎦⎤,x3=⎣⎡11−2⎦⎤
c
c
c如何取值，保证矩阵
A
\mathbf A
A可对角化？ 对角化仅取决于是否有n个无关的特征向量，
c
c
c可以取任意值
c
c
c如何取值，保证矩阵
A
\mathbf A
A对阵？ 对称矩阵特征向量正交，这里已经满足 对称矩阵特征值全为实数，
c
c
c需要取实数
c
c
c如何取值，保证矩阵
A
\mathbf A
A正定？ 正定矩阵特征值全为正实数，然而有
λ
1
=
0
\lambda_{1}=0
λ1=0，故
c
c
c取任何值都不能保证矩阵
A
\mathbf A
A正定（但是
c
≥
0
c\geq 0
c≥0可保证矩阵半正定）
c
c
c如何取值，保证矩阵
1
2
A
\frac{1}{2}\mathbf A
21A为投影矩阵？ 投影矩阵特征值只能为0或1（
P
2
=
P
\mathbf P^2=\mathbf P
P2=P，两次变换叠加则
λ
2
=
λ
\lambda^2=\lambda
λ2=λ，故
λ
=
0
或
1
\lambda=0或1
λ=0或1），故
c
=
0
或
2
c=0或2
c=0或2
A
\mathbf A
A的特征值有何限制？ ①对称阵，特征值为实数；②正交矩阵，特征值
∣
λ
∣
=
1
|\lambda|=1
∣λ∣=1（正交矩阵对应旋转变换；或者由于
Q
x
=
λ
x
\mathbf Q\mathbf x=\lambda\mathbf x
Qx=λx，而正交矩阵与任意向量相乘不改变其长度
∥
Q
x
∥
=
∥
x
∥
=
∥
λ
x
∥
\|\mathbf Q\mathbf x\|=\|\mathbf x\|=\|\lambda\mathbf x\|
∥Qx∥=∥x∥=∥λx∥） 综上，
A
\mathbf A
A的特征值满足
λ
=
±
1
\lambda=\pm1
λ=±1
A
\mathbf A
A是否可逆
A
\mathbf A
A没有零特征值，必可逆；或者说，正交矩阵一定可逆
A
\mathbf A
A是否正定 当有特征值
λ
=
−
1
\lambda=-1
λ=−1，不是正定的
A
\mathbf A
A是否可以对角化 可以，因为对称阵/正交阵 一定有n个无关（且正交）的特征向量（即使很可能有重特征值），必然可以对角化
证明：
P
=
(
1
/
2
)
(
A
+
I
)
\boldsymbol{P}=(1 / 2)(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})
P=(1/2)(A+I)为投影矩阵 思路：验证该矩阵满足投影矩阵的各性质①投影矩阵为对称阵（满足）②
P
2
=
P
\boldsymbol P^2=\boldsymbol P
P2=P，最终只需要证明② 证明②，法1：计算
P
2
=
(
1
2
(
A
+
I
)
)
2
=
1
4
(
A
2
+
2
A
+
I
)
\boldsymbol{P}^{2}=\left(\frac{1}{2}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\right)^{2}=\frac{1}{4}\left(\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{I}\right)
P2=(21(A+I))2=41(A2+2A+I) 其中，由于
A
\mathbf A
A对称且正交，有
A
=
A
T
=
A
−
1
\mathbf A=\mathbf A^T=\mathbf A^{-1}
A=AT=A−1，故
A
2
=
I
\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol I
A2=I，带入上式得到
P
2
=
1
2
(
A
+
I
)
=
P
\boldsymbol P^2=\frac{1}{2}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})=\boldsymbol P
P2=21(A+I)=P 证明②，法2：投影矩阵的特征值只可能为0或1，转为验证该矩阵的特征值为0或1 由于上面说过，
A
\mathbf A
A的特征值满足
λ
=
±
1
\lambda=\pm1
λ=±1，则
A
+
I
\mathbf A+\mathbf I
A+I特征值
λ
=
0
或
2
\lambda=0或2
λ=0或2（原来的特征值满足
d
e
t
(
A
−
λ
I
)
=
0
det(\mathbf A-\lambda\mathbf I)=0
det(A−λI)=0，那么
d
e
t
[
(
A
+
I
)
−
λ
′
I
]
=
0
det[(\mathbf A+\mathbf I)-\lambda'\mathbf I]=0
det[(A+I)−λ′I]=0的解为
λ
′
=
λ
+
1
\lambda'=\lambda+1
λ′=λ+1），则
P
=
(
1
/
2
)
(
A
+
I
)
\boldsymbol{P}=(1 / 2)(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})
P=(1/2)(A+I)特征值
λ
=
0
或
1
\lambda=0或1
λ=0或1