两个人头顶有一个数，互相猜对面是什么数。谁先猜出来谁赢，头顶的数一定是正整数，且一个人的数另一个人的两倍。
首先，如果某个人是奇数，那么另一个人一定可以推出自己的数字，就是那个人的两倍。
即
(
1
2
)
:
1
1
(
2
1
)
:
1
0
(1\quad2) : 1\quad1 \\ (2\quad1) : 1\quad0
(12):11(21):10
接下来，如果两人头顶的数字是
(
4
2
)
(4\quad2)
(42)。①那么A会先说“不知道”，因为他不能确定自己头顶是
1
1
1还是
4
4
4。②既然A说“不知道”，那B就可以推知自己上不是奇数。看到A是
4
4
4，还是不能确定自己是
2
2
2还是
8
8
8。③轮到A，A接受到B的“不知道”信息后，便可以知道B看到自己头上不是一个奇数(如果A头上是奇数，那B是可以知道自己是多少的)，那在
1
1
1和
4
4
4中除去了
1
1
1，A就可以知道自己是
4
4
4了。综上，A在第二轮获胜。
再有如果，A头顶是2，B头顶是4。①A是无法确定的，自己可能为2或8。②轮到B，B本来的可能有1或4。A说“不知道”，那B头上一定不是奇数，现在就是有4是可能的了。综上B在第一轮获胜。
(
4
2
)
:
2
0
(
2
4
)
:
1
1
(4\quad2) : 2\quad0 \\ (2\quad4) : 1\quad1
(42):20(24):11
继续理清这个问题，如果是 ( 8 4 ) (8\quad4) (84)。①首先A只能知道自己是 2 2 2或 8 8 8。②B可以是 4 4 4或者 16 16 16，它也不知道。③A从B的“不知道”中可以推出，自己头顶上不可能是2。因为如果它头顶上是 2 2 2(B知道自己要么1要么4)，而第一轮时A说“不知道”(说明B不是一个奇数)，B就足够猜出自己是 4 4 4了(在 1 1 1和 4 4 4中排除了 1 1 1)。既然B没有猜出来，那A它就不是 2 2 2，而是 8 8 8。综上，A在第二轮获胜。
仔细思考刚刚这个问题会发现，出现了嵌套的问题了。A看到B头顶是4，它便可以知道自己是 2 2 2记为 ( 2 4 ) (2\quad4) (24)或者8记为 ( 8 4 ) (8\quad4) (84)。然后B说不知道。第二轮时，由于如果是情况 ( 2 4 ) (2\quad4) (24)，那B在第一轮就应该知道自己是多少了，然而他并不知道，所以只能是情况 ( 8 4 ) (8\quad4) (84)。
类似地，如果是情况 ( 8 16 ) (8\quad16) (816)，A在第二轮的时候并不能得出什么有用结论。而B在此时正在纠结是 ( 8 4 ) (8\quad4) (84)还是 ( 8 16 ) (8\quad16) (816)，由于A此时不知道，所以排除掉 ( 8 4 ) (8\quad4) (84)，他就可以知道是 ( 8 16 ) (8\quad16) (816)。
所以得出了一条链的答案
(
2
1
)
:
1
0
(
2
4
)
:
1
1
(
8
4
)
:
2
0
(
8
16
)
:
2
1
(
32
16
)
:
3
0
(
32
64
)
:
3
1
⋯
:
⋯
(2\quad1) : 1\quad0 \\ (2\quad4) : 1\quad1 \\ (8\quad4) : 2\quad0 \\ (8\quad16) : 2\quad1 \\ (32\quad16) : 3\quad0 \\ (32\quad64) : 3\quad1 \\ \cdots\qquad:\ \ \cdots
(21):10(24):11(84):20(816):21(3216):30(3264):31⋯: ⋯
这样其实就已经可以开始模拟了。
另外一条链也是类似的。
然后可以模拟这个过程 O ( log a ) \mathcal{O}(\log a) O(loga)，也可以推一下式子再做。