• [原创]基于Comsol的方形、三角形、椭圆形克拉尼板仿真研究

    [原创]基于Comsol的方形、三角形、椭圆形克拉尼板仿真研究

    **起因：**很早就看到过这种能把声波可视化的技术了，但仍然停留在第1次看到时候的震撼当中，也一直在思考这物理层面上是用什么方程来描述的，如果不是方形板，圆形板，三角形板，椭圆形板会是什么样子的呢（网上多看到的是正方形，圆形）。当初水平不够，也只是了解到这是一个平面薄板的弹性体的自由振动n阶模态问题。最近机缘到了，也正式的知道这个方形板叫克拉尼板(chladina plate), 也就有了基于Comsol有限元技术的仿真研究。

    文章目录

    1.什么是克拉尼板

    克拉尼图形（建议打开这个B站链接感受一下可视化声音的震撼）

    【作死物理小讲堂】仅凭振动就能操纵沙子吗？驻波谐振与克拉尼图形 @FPS罗兹 硬核字幕

    引百度百科：“十八世纪，德国物理学家恩斯特·克拉德尼做过一个实验，他安放一块较宽的金属薄片，在上面均匀地撒上沙子。然后开始用弓弦拉动，结果这些细沙自动排列成不同的美丽图案，并随着弓弦拉出的节奏的不断增加，图案也不断变幻和越趋复杂——这就是著名的克拉尼图形”，

    下图是正方形板仿真中的几个振形:
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    下图是三角形板仿真中的几个振形:

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    下图是椭圆板仿真中的几个振形:

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    1.1 原理

    原理：克拉尼板形成的图案是由于板在特定频率下共振，振动波在边界被反射形成稳定的驻波形成的固定波峰波浴。

    下面一维绳子的震动就是驻波
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    2.下面是克拉尼板的各阶振形

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    下图是用comsol的仿真结果：

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    3.仿真过程

    3.1 仿真套路

    下图不管是什么工具基本都划分为前处理、后处理部分，各部分内容如下

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    3.2 仿真工具

    Comsol: 选择Comsol是因为他的安装包大小合适，从力学，热学，光学，流体，波动，电池都能仿真。适合新手学习。软件版权归COMSOL公司所有，文本使用该软件是非营利用途，仅用于知识简谱。

    Comsol官方网站：https://cn.comsol.com/

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    3.3 仿真步骤

    3.3.1 建模

    我们仿真的图形如下左图是长为40cm*40**0.1cm的正方形薄板(厚度为0.1cm)，且中间是个半径为0.5cm小圆, 由于对称性只需仿真其中1/4即可，这样可以减少计算理，如下图右选择右上角1/4建模即可。

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    1. 新建“模型向导”，选择“三维”
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    2. 物理场选择“结构力学->“壳”,点击添加，研究（这个是结构力学中薄板，即壳的问题）

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    1. 选择研究的内容，这里研究的是克拉尼板的共振频率问题，所以选择“特征频率”
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    2. 设置模型单位，这里选择cm,因为研究对象长为40cm,并设置参数l为20cm(边长1/2), 小圆半径0.5cm

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    1. 创建几何模型
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    选择XY平台画图

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    先画1/4圆弧
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    画右上角1/4正方形
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    这里就已经完成了几何建模

    3.3.2 材料设置

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    在打开的“内置材料”库选择铝（）材料，克拉尼板基本材料就是铝
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    把材料分配到模型上
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    3.3.3 网络设置

    网络设计是基于分而治之的思路，实践的模型往往很复杂，不是简单的正方形，三解形，但复杂几何体可以用有限多的正方形，小三角形去逼近，这就是有限元有线的由来。物理方程在正方形，三角形上更易于计算，看图感受理解即可。（网络越细，精度越高，求解时间也越长）
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    3.3.4 初始条件，边界条件设置

    设置薄板厚度，设置好两条边界的对称性， 中间的小圆设置固定（薄板要有支点才不会做自由落体，相当于板中心保持始终不动）
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    设置好两条边界的对称性：

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    固定小圆不动：

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    3.3.5 求解器设置

    这步就是要求解我们的问题了，频率扫描范围设置30Hz到5000Hz计算就好。

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    3.3.6 后处理结果显示
    1. 利用对称性画出整个求解结果

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    利用同样的原理，对“三给镜像1”再做1次镜像就能得到整个40cm**40cm0.1[cm]的正方形了
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    1. 设置结果图例颜色

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    到这里就能查看各个共振下板的效果了，有不明白的可以看我上传到B站的视频。

    三角形，椭圆形的仿真结果看文末的下载连接。

    4.理论分析

    参考：《弹性力学》徐芝纶，第十五章薄板的振动问题

    自由振动的薄板由下面的微分方程描述：
    D ( ∂ 4 w ∂ x 4 + 2 ∂ 4 w ∂ x 2 ∂ y 2 + ∂ 4 w ∂ y 4 ) = 0 ( 1 ) D = E δ 3 12 ( 1 − μ ) , D 为弯曲刚度， E 为材料杨氏模量， μ 为泊松比 δ 为板厚度 D(\frac{\partial^4w}{\partial x^4}+2\frac{\partial^4w}{\partial x^2 \partial y^2}+\frac{\partial^4w}{\partial y^4})=0 \quad (1)\\ D=\frac{E\delta^3}{12(1-\mu)},D为弯曲刚度， E为材料杨氏模量，\mu为泊松比 \delta为板厚度 D(

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