【题解】同济线代习题一.6.5 - 码农知识堂 - 文章详情页

【题解】同济线代习题一.6.5

题目

证明：

$| \begin{matrix} x & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & x & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & x & - 1 \\ a_{0} & a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix} |$ = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 $x 00 a_{0} - 1 x 0 a_{1} 0 - 1 x a_{2} 00 - 1 a_{3} = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

解答

因为行列式等于其第一列各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，所以有

$\begin{align*} \begin{vmatrix} x & -1 & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & 0 \\ 0 & 0 & x & -1 \\ a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \\ \end{vmatrix} & \xlongequal{\begin{align*} r_4 - \frac{a_0}{x} r_1 \end{align*}} \begin{vmatrix} x & -1 & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & 0 \\ 0 & 0 & x & -1 \\ 0 & a_1+\frac{a_0}{x} & a_2 & a_3 \\ \end{vmatrix} = x \begin{vmatrix} x & -1 & 0 \\ 0 & x & -1 \\ a_1+\frac{a_0}{x} & a_2 & a_3 \\ \end{vmatrix} \xlongequal{\begin{align*} r_3 \times x \end{align*}} \begin{vmatrix} x & -1 & 0 \\ 0 & x & -1 \\ a_1 x + a_0 & a_2 x & a_3 x \\ \end{vmatrix} \\ & \xlongequal{\begin{align*} r_3 - \frac{a_1 x + a_0}{x} r_1 \end{align*}} \begin{vmatrix} x & -1 & 0 \\ 0 & x & -1 \\ 0 & a_2 x + \frac{a_1 x + a_0}{x} & a_3 x \\ \end{vmatrix} = x \begin{vmatrix} x & -1 \\ a_2 x + \frac{a_1 x + a_0}{x} & a_3 x \\ \end{vmatrix} \xlongequal{\begin{align*} r_2 \times x \end{align*}} \begin{vmatrix} x & -1 \\ a_2 x^2 + a_1 x + a_0 & a_3 x^2 \\ \end{vmatrix} \\ & = a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \end{align*}$ $x 00 a_{0} - 1 x 0 a_{1} 0 - 1 x a_{2} 00 - 1 a_{3} r_{4} - \frac{a _{0}}{x} r_{1} x 000 - 1 x 0 a_{1} + \frac{a _{0}}{x} 0 - 1 x a_{2} 00 - 1 a_{3} = x x 0 a_{1} + \frac{a _{0}}{x} - 1 x a_{2} 0 - 1 a_{3} r_{3} \times x x 0 a_{1} x + a_{0} - 1 x a_{2} x 0 - 1 a_{3} x r_{3} - \frac{a _{1} x + a _{0}}{x} r_{1} x 00 - 1 x a_{2} x + \frac{a _{1} x + a _{0}}{x} 0 - 1 a_{3} x = x x a_{2} x + \frac{a _{1} x + a _{0}}{x} - 1 a_{3} x r_{2} \times x x a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} - 1 a_{3} x^{2} = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$
得证。
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原文地址：https://blog.csdn.net/Changxing_J/article/details/126807919