【线性代数】P8 逆矩阵&矩阵方程以及逆矩阵的性质

逆矩阵的定义

A为n阶方阵，存在n阶方阵B，使得AB=BA=E，则A的逆矩阵A^-1=B，且可证矩阵的逆唯一。

定理： A可逆的充分必要条件是|A|≠0，则：

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求逆矩阵的方法

1. 伴随矩阵法
2. 初等变换法

伴随矩阵法

e.g. 通过伴随矩阵求逆矩阵

解：
第一步：求A的行列式的值不为0：

第二步：求代数余子式

第三步：求伴随矩阵

第四步：求逆矩阵

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矩阵方程&初等变换法

e.g. 矩阵方程：求x


矩阵初等运算的四点注意事项
1）提取出公因子时候要注意提取的方向；
2）A-2不可以，矩阵要与矩阵做加减，所以为A-2E；
3）矩阵永远不要放在分母位置上；
4）一定要先判定可逆，才可以同时左右乘以一个矩阵的逆。
5）待定法可以考虑电脑做。

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逆矩阵的性质

A可逆，那么A的逆也可逆，且A逆的逆为A。

若A和B都可逆，那么AB也可逆，且(AB)的逆为B逆A逆。

A可逆，那么A的转置也可逆，且A转置的逆等于A逆的转置

k≠0，(kA)的逆等于1/k乘以A的逆

A可逆，那么A逆的行列式等于A行列式的逆

A可逆，A的伴随矩阵也可逆，且A伴随矩阵的逆等于A的行列式分之一乘以A