自动控制原理9.1---线性系统的状态空间描述(下)

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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1.线性系统的状态空间描述

1.6 线性离散系统状态空间表达式的建立及其解

离散系统特点：系统中的各个变量被处理成为只在离散时刻取值，其状态空间描述只反映离散时刻的变量组间的因果关系和转换关系，因而这类系统通常称为离散时间系统，简称离散系统；

线性离散系统的动态方程可以利用系统的差分方程建立，可以利用线性连续动态方程的离散化得到；

1.6.1 由差分方程建立动态方程

经典控制理论中离散系统通常用差分方程或脉冲传递函数描述，单输入-单输出线性定常离散系统差分方程的一般形式为：
y ( k + n ) + a n − 1 y ( k + n − 1 ) + ⋯ + a 1 y ( k + 1 ) + a 0 y ( k ) = b n u ( k + n ) + b n − 1 u ( k + n − 1 ) + ⋯ + b 1 u ( k + 1 ) + b 0 u ( k ) y(k+n)+an−1y(k+n−1)+⋯+a1y(k+1)+a0y(k)=bnu(k+n)+bn−1u(k+n−1)+⋯+b1u(k+1)+b0u(k)

=​y(k+n)+an−1​y(k+n−1)+⋯+a1​y(k+1)+a0​y(k)bn​u(k+n)+bn−1​u(k+n−1)+⋯+b1​u(k+1)+b0​u(k)​
其中：$k$表示$kT$时刻，$T$为采样周期，$y(k),u(k)$分别为$kT$时刻的输出量和输入量；$a_i,b_i(i=0,1,2,\dots ,n,且a_n=1)$为表征系统特性的常系数；

考虑初始条件为零时的$z$变换关系有：
$$Z[y(k)]=Y(z),Z[y(k+i)]=z^{i}Y(z)$$
对差分方程取$z$变换，可得：
G ( z ) = Y ( z ) U ( z ) = b n z n + b n − 1 z n − 1 + ⋯ + b 1 z + b 0 z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 = b n + β n − 1 z n − 1 + ⋯ + β 1 z + β 0 z n + a n − 1 z n − 1 + ⋯ + a 1 z + a 0 = b n + N ( z ) D ( z ) G(z)=Y(z)U(z)=bnzn+bn−1zn−1+⋯+b1z+b0zn+an−1zn−1+⋯+a1z+a0=bn+βn−1zn−1+⋯+β1z+β0zn+an−1zn−1+⋯+a1z+a0=bn+N(z)D(z)

G(z)​=U(z)Y(z)​=zn+an−1​zn−1+⋯+a1​z+a0​bn​zn+bn−1​zn−1+⋯+b1​z+b0​​=bn​+zn+an−1​zn−1+⋯+a1​z+a0​βn−1​zn−1+⋯+β1​z+β0​​=bn​+D(z)N(z)​​
$G(z)$称为脉冲传递函数；

$N(z)/D(z)$串联分解，引入中间变量$Q(z)$，有：
z n Q ( z ) + a n − 1 z n − 1 Q ( z ) + ⋯ + a 1 z Q ( z ) + a 0 Q ( z ) = U ( z ) Y ( z ) = β n − 1 z n − 1 Q ( z ) + ⋯ + β 1 z Q ( z ) + β 0 Q ( z ) znQ(z)+an−1zn−1Q(z)+⋯+a1zQ(z)+a0Q(z)=U(z)Y(z)=βn−1zn−1Q(z)+⋯+β1zQ(z)+β0Q(z)

​znQ(z)+an−1​zn−1Q(z)+⋯+a1​zQ(z)+a0​Q(z)=U(z)Y(z)=βn−1​zn−1Q(z)+⋯+β1​zQ(z)+β0​Q(z)​
最后向量-矩阵形式为：
$$\left[\begin{array}{c}{x}_1(k+1)\\ x_2(k+1)\\ ⋮\\ x_{n-1}(k+1)\\ x_n(k+1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1\\ -a_0& -a_1& -a_2& \cdots & -a_{n-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1(k)\\ x_2(k)\\ ⋮\\ x_{n-1}(k)\\ x_n(k)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\\ 1\end{array}\right]u(k)$$

y ( k ) = [ β 0 β 1 ⋯ β n − 1 ] x ( k ) + b n u ( k ) y(k)=[β0β1⋯βn−1]

x(k)+b_nu(k) y(k)=[β0​​β1​​⋯​βn−1​​]x(k)+bn​u(k)

简记：
x ( k + 1 ) = G x ( k ) + h u ( k ) y ( k ) = c x ( k ) + d u ( k ) x(k+1)=Gx(k)+hu(k)y(k)=cx(k)+du(k)

​x(k+1)=Gx(k)+hu(k)y(k)=cx(k)+du(k)​
其中：$G$为友矩阵，$G,h$为可控标准型；

离散系统状态方程描述了$(k+1)T$时刻的状态与$kT$时刻的状态及输入量之间的关系，其输出方程描述了$kT$时刻输出量与$kT$时刻的状态及输入量之间的关系；

线性定常多输入-多输出离散系统的动态方程为：
x ( k + 1 ) = G x ( k ) + H u ( k ) y ( k ) = C x ( k ) + D u ( k )   x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)

\ ​x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)​ 

1.6.2 定常连续动态方程的离散化

已知定常连续系统状态方程：$\dot{x}=Ax+Bu$在$x(t_0)$及$u(t)$作用下的解为：
$$x(t)=\Phi (t-t_0)x(t_0)+{\int }_{t_0}^T\Phi (t-\tau )Bu(\tau )\mathrm{d}\tau$$
离散化状态方程为：
$$x(k+1)=\Phi (T)x(k)+G(T)u(k)$$
其中：
$$G(T)={\int }_0^T\Phi ({\tau }^{\prime })B\mathrm{d}{\tau }^{\prime }和\Phi (T)=\Phi (t){|}_{t=T}$$
离散化系统的输出方程：
$$y(k)=Cx(k)+Du(k)$$

1.6.3 定常离散动态方程的解

离散化状态方程的解，亦称离散化状态转移方程：
$$x(k)={\Phi }^k(T)x(0)+\sum _{i=0}^{k-1}{\Phi }^{k-1-i}(T)G(T)u(i)$$
当$u(i)=0(i=0,1,\cdots ,k-1)$时，有：
$$x(k)={\Phi }^k(T)x(0)=\Phi (kT)x(0)=\Phi (k)x(0)$$
其中：$\Phi (k)$称为离散化系统动态转移矩阵；

输出方程为：
$$y(k)=Cx(k)+Du(k)=C{\Phi }^k(T)x(0)+C\sum _{i=0}^{k-1}{\Phi }^{k-1-i}(T)G(T)u(i)+Du(k)$$
使用递推法可得离散动态方程的解：
x ( k ) = G k x ( 0 ) + ∑ i = 0 k − 1 G k − 1 − i H u ( i ) y ( k ) = C G k x ( 0 ) + C ∑ i = 0 k − 1 G k − 1 − i H u ( i ) + D u ( k ) x(k)=Gkx(0)+k−1∑i=0Gk−1−iHu(i)y(k)=CGkx(0)+Ck−1∑i=0Gk−1−iHu(i)+Du(k)

​x(k)=Gkx(0)+i=0∑k−1​Gk−1−iHu(i)y(k)=CGkx(0)+Ci=0∑k−1​Gk−1−iHu(i)+Du(k)​
式中：$G^k$表示$k$个$G$相乘；

实例分析：

$Example8：$ 已知连续时间系统的状态方程为：
x ˙ = [ 0 1 − 2 − 3 ] x + [ 0 1 ] u \dot{x}= [01−2−3]

x+ [01]u x˙=[0−2​1−3​]x+[01​]u
设$T=1$，求相应离散时间状态方程.

解：
s I − A = [ s 0 0 s ] − [ 0 1 − 2 − 3 ] = [ s − 1 2 s + 3 ] sI-A= [s00s]

- [01−2−3]= [s−12s+3] sI−A=[s0​0s​]−[0−2​1−3​]=[s2​−1s+3​]

( s I − A ) − 1 = a d j ( s I − A ) ∣ s I − A ∣ = 1 ( s + 1 ) ( s + 2 ) [ s + 3 1 − 2 s ] = [ 2 s + 1 − 1 s + 2 1 s + 1 − 1 s + 2 − 2 s + 1 + 2 s + 2 − 1 s + 1 + 2 s + 2 ] (sI−A)−1=adj(sI−A)|sI−A|=1(s+1)(s+2)[s+31−2s]=[2s+1−1s+21s+1−1s+2−2s+1+2s+2−1s+1+2s+2]

(sI−A)−1​=∣sI−A∣adj(sI−A)​=(s+1)(s+2)1​[s+3−2​1s​]= ​s+12​−s+21​s+1−2​+s+22​​s+11​−s+21​s+1−1​+s+22​​ ​​

Φ ( t ) = L − 1 [ ( s I − A ) − 1 ] = [ 2 e − t − e − 2 t e − t − e − 2 t − 2 e − t + 2 e − 2 t − e − t + 2 e − 2 t ] Φ ( T ) = Φ ( t ) ∣ t = T = 1 = [ 0.6004 0.2325 − 0.4651 − 0.0972 ] Φ(t)=L−1[(sI−A)−1]=[2e−t−e−2te−t−e−2t−2e−t+2e−2t−e−t+2e−2t]Φ(T)=Φ(t)|t=T=1=[0.60040.2325−0.4651−0.0972]

​Φ(t)=L−1[(sI−A)−1]=[2e−t−e−2t−2e−t+2e−2t​e−t−e−2t−e−t+2e−2t​]Φ(T)=Φ(t)∣t=T=1​=[0.6004−0.4651​0.2325−0.0972​]​

G ( t ) = ∫ 0 T Φ ( τ ) B d τ = ∫ 0 T [ e − τ − e − 2 τ − e − τ + 2 e − 2 τ ] d τ = [ 1 2 − e − T + 1 2 e − 2 T e − T − e − 2 T ] ⇒ G ( T ) ∣ T = 1 = [ 0.1998 0.2325 ] G(t)=\int_0^T\Phi(\tau)B{\rm d}\tau=\int_0^T[e−τ−e−2τ−e−τ+2e−2τ]

{\rm d}\tau= [12−e−T+12e−2Te−T−e−2T]\Rightarrow{G(T)|_{T=1}=[0.19980.2325]} G(t)=∫0T​Φ(τ)Bdτ=∫0T​[e−τ−e−2τ−e−τ+2e−2τ​]dτ=[21​−e−T+21​e−2Te−T−e−2T​]⇒G(T)∣T=1​=[0.19980.2325​]