【问题思考总结】为什么非齐次方程的解是齐次通解加上一个非齐次特解？

问题提出

在解非齐次方程的时候，突然有了这个疑问，一个非齐次特解如何和齐次通解组合出非齐次通解？

前置公式

$$\begin{gathered} A\mathbf{p}=b \\ A{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}=0 \\ \mathbf{p}：非齐次特解（一个解） \\ {\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}：齐次通解 \end{gathered}$$

几何直观

首先来看两组方程：
$$\begin{gathered} x+y+z=0 \\ x+3y+2z=0 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} x+y+z=3 \\ x+3y+2z=5 \end{gathered}$$
首先看第一组方程，从几何知识中我们可以知道，这两个方程是两个平面，而两个平面的交线就是一条直线，这条交线上的每一个点，$(x,y,z)$，共同构成了齐次方程组的通解。

再看第二组方程，和上面一样，这组方程同样表示了一条直线。这组方程和第一组方程的联系在于，交线的方向向量相同，因此两条直线是平行的，而这条直线上的点，$(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })$，共同构成了非齐次方程组的通解。

从前置公式我们可以知道，这个非齐次方程组的通解包含了一个非齐次特解和齐次通解，方式是线性组合。

在上图中可以看到$v_n$是$Ax=0$的解直线上的每一个点，而$p$则是$Ax=b$的解直线上的其中一个点，为了方便理解线性组合，也可以将每个点都对应着以原点为始点的向量。

实际上这个齐次通解向量组，和任意的一个非齐次特解向量，就可以表示出所有的非齐次通解上的点。因为从几何上来看对应黄线上的任意一个点，总有一个以蓝线上的点为终点的向量和任意一个以黄线上的点为终点的向量的线性组合可以得到这个点。

代数证明

想要从代数的角度证明非齐次通解是齐次通解加上任意一个非齐次特解，需要证明两个事情。

1. 齐次通解加上任意一个非齐次特解，是非齐次方程组的解。
2. 齐次通解加上任意一个非齐次特解，是非齐次方程组的所有解。

证明1

$$\begin{gathered} A{v}_n=0 \\ Ap=b \\ A(v_n+p)=A{v}_n+Ap=0+b=b \end{gathered}$$
这个证明比较简单，通过向量乘法的结合律即可证明。

证明2

要想证明是所有解，不妨假设$w$是$Ax=b$的任意一个非齐次特解，又因为$$A(w-p)=Aw-Ap=b-b=0$$
因此，$w-p$则是齐次方程的一个解。即下公式恒成立，
$$w=p+(w-p)$$
这个公式的含义是，
对于任意一个非齐次特解，都可以表示为一个非齐次特解加上任意一个齐次解。
即非齐次通解可以用非齐次特解加上齐次通解来表示。