到底什么是拓扑空间，拓扑

从硕士的时候，偶尔在论文中，看到拓扑空间这个名词，但没有真正理解它是什么意思，现在抽出时间总结一下。

拓扑空间有时候也直接称为拓扑，一个集合 $X$ 的拓扑 $\tau$ 表示针对该集合内元素的一些组合满足下列条件：

• 空集与 $X$ 本身属于 $\tau$
• $\tau$ 中任意元素的交集属于 $\tau$
• $\tau$ 中任意元素的并集属于 $\tau$

因此，拓扑可以理解为一个给定集合内元素所组成的，另外一个满足上面三个条件的集合。

下面，用维基百科的一个图形例子来说明。

给定的集合 X = { 1 , 2 , 3 } X=\{1,2,3\} X={1,2,3}，下面的六个新集合中，最后两个并不属于 $X$ 的拓扑。

• 左上的集合为 {{1, 2, 3}}，满足三个条件
• 右上的集合为 {1，{1，2，3}}，满足三个条件
• 中左的集合为 {{1}，{2}，{1，2}，{1，2，3}}，满足三个条件
• 中右的集合为 {{1，2}，{2，3}，{2}，{1，2，3}}，满足三个条件
• 左下的集合为 {{2}，{3}，{1，2，3}} 不满足 {2} 与 {3} 的并集属于该拓扑集合
• 右下的集合为 {{1，2}，{2，3}，{1，2，3}} 不满足 {1，2} 与 {2，3} 的交集属于该拓扑集合

注：向量空间也是拓扑空间，但是拓扑空间不一定是向量空间。因为向量空间的定义要更严格些，要满足那八个公理（关于向量加法与乘法的结合律分配律等）。