【控制】滑模控制，滑模面的选择

1 问题描述

假设存在一个被控系统
x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = u (1)

\tag{1} x˙1​x˙2​​=x2​=u​(1)

设计滑模面为
$$s=c{x}_1+x_2\text{\hspace{1em}(2)}$$

那么问题就是滑模面是什么？为什么要写成这种形式？

2 滑模面

滑模面一般可以设计为如下的形式
$$s(x)=\sum _{i=1}^{n-1}{c}_i{x}_i+x_n\text{\hspace{1em}(3)}$$

在滑模控制中，要保证多项式 $p^{n-1}+c_n{p}^{n-2}+\cdots +c_{2}p+c_1$ 为Hurwitz (简单来说这条条件是为了满足状态在 $s=0$ 的滑模面上可以收敛)。什么是Hurwitz，即上述多项式的特征值的实数部分在左半平面，即为负。

下面举例说明：
当 $n=2$ 时， $s(x)=c_1{x}_1+x_2$，为了保证多项式 $p+c_1$ 为Hurwitz，需要多项式 $p+c_1=0$ 的特征值实数部分为负，即 $c_1>0$。

接着明确一下，控制器的目的是为了使得状态 $x_1$ 和 $x_2$ 均达到零，我们令 $s=0$，分析一下结果有
{ c x 1 + x 2 = 0 x ˙ 1 = x 2    ⇒    c x 1 + x ˙ 1 = 0    ⇒    { x 1 ( t ) = e − c t x 1 ( 0 ) x 2 ( t ) = x ˙ 1 ( t ) = − c x 1 ( 0 ) e − c t (4) \left\{

\right. ~~ \Rightarrow ~~ c x_1 + \dot{x}_1 = 0 ~~ \Rightarrow ~~ \left\{\right. \tag{4} {​cx1​+x2​=0x˙1​=x2​​  ⇒  cx1​+x˙1​=0  ⇒  {​x1​(t)=e−ctx1​(0)x2​(t)=x˙1​(t)=−cx1​(0)e−ct​(4)

通过式 (4) 可以看到状态 $x_1$ 和 $x_2$ 最终都是趋向于零的，而且速度是以指数速率趋紧的。指数速率意味着当 $t=1/c$ 时，趋零过程完成 $63.2\%$，当 $t=3/c$ 时，趋零过程完成 $95.021\%$。那么我们通过调节参数 $c$ 的大小即可实现对趋零速度的调节，$c$ 越大，速度越快。

因此如果满足了 $s=c{x}_1+x_2=0$，那么系统的状态 $x_1$ 和 $x_2$ 也将沿着滑模面趋近于零 ($s=0$ 称之为滑模面)。

3 趋近律

上述过程介绍了如果 $s=0$ 那么状态变量 $x_1,x_2$ 就会趋近于零，那么接下来考虑如何保证 $s=0$。也就是控制器 $u$ 将出现了。

针对式 (2) 的滑模面，其中并没有控制器 $u$，我们可以对式 (2) 取微分那么有
s ˙ = c x ˙ 1 + x ˙ 2 = c x 2 + u (5)

\tag{5} s˙​=cx˙1​+x˙2​=cx2​+u​(5)

这时我们得到了 $u$ 的一个式子。但是怎么与状态 $x_1,x_2$ 建立联系呢？

解决办法就是已经规整好的趋近律。趋近律就是指的 $\dot{s}$ 的一个显式表达式，一般有

s ˙ = { − ϵ  sgn ( s ) ,      ϵ > 0 − ϵ  sgn ( s ) − k s ,      ϵ > 0 , k > 0 − k ∣ s ∣ α  sgn ( s ) − k s ,      k > 0 , 0 < α < 1 (6) \dot{s} = \left\{

\right. \tag{6} s˙=⎩ ⎨ ⎧​​−ϵ sgn(s),    ϵ>0−ϵ sgn(s)−ks,    ϵ>0,k>0−k∣s∣α sgn(s)−ks,    k>0,0<α<1​(6)

其中 $\text{sgn}(s)$ 是符号函数，$s>0,\text{sgn}(s)=1;s<0,\text{sgn}(s)=-1;s=0,\text{sgn}(s)=0$。

结合趋近律式 (6) 和式 (2) 滑模面的微分，我们就可以得到控制器 $u$ 的代数方程表达式。

4 不同趋近律

令式 (2) 中的参数 $c$ 为2，我们研究不同趋近律的效果。
将 $c=2$ 代入式 (5) 有

s ˙ = 2 x 2 + u (7)

\tag{7} s˙​=2x2​+u​(7)

4.1 $-ϵ\text{sgn}(s)$

趋近律取 $-ϵ\text{sgn}(s)$ 有
s ˙ = 2 x 2 + u = − ϵ  sgn ( s ) ⇒ u = − ϵ  sgn ( s ) − 2 x 2 (8)

\tag{8} s˙​=2x2​+u=−ϵ sgn(s)⇒u=−ϵ sgn(s)−2x2​​(8)

代入式 (1) 系统变为

x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = − ϵ  sgn ( s ) − 2 x 2 (9)

\tag{9} x˙1​x˙2​​=x2​=−ϵ sgn(s)−2x2​​(9)

4.2 $-ϵ\text{sgn}(s)-ks$

趋近律取 $-ϵ\text{sgn}(s)-ks$ 有
s ˙ = 2 x 2 + u = − ϵ  sgn ( s ) − k s ⇒ u = − ϵ  sgn ( s ) − k s − 2 x 2 (10)

\tag{10} s˙​=2x2​+u=−ϵ sgn(s)−ks⇒u=−ϵ sgn(s)−ks−2x2​​(10)

代入式 (1) 系统变为

x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = − ϵ  sgn ( s ) − k s − 2 x 2 (11)

\tag{11} x˙1​x˙2​​=x2​=−ϵ sgn(s)−ks−2x2​​(11)

4.3 $-k|s{|}^{\alpha }\text{sgn}(s)-ks$

趋近律取 $-k|s{|}^{\alpha }\text{sgn}(s)-ks$ 有
s ˙ = 2 x 2 + u = − k ∣ s ∣ α sgn ( s ) − k s ⇒ u = − k ∣ s ∣ α sgn ( s ) − k s − 2 x 2 (12)

\tag{12} s˙​=2x2​+u=−k∣s∣αsgn(s)−ks⇒u=−k∣s∣αsgn(s)−ks−2x2​​(12)

代入式 (1) 系统变为

x ˙ 1 = x 2 x ˙ 2 = − k ∣ s ∣ α sgn ( s ) − k s − 2 x 2 (13)

\tag{13} x˙1​x˙2​​=x2​=−k∣s∣αsgn(s)−ks−2x2​​(13)

---

上述仿真过程所用的程序如下：

clear
clc

x_1(:,1) = 1;
x_2(:,1) = 2;

% Gains
c = 2;
epsilon = 1;
k = 1;
alpha = 0.5;

%%    
tBegin = 0;
tFinal = 100;
dT = 0.05;
times = (tFinal - tBegin) / dT;
t(1,1) = tBegin;

for i = 1:times
    % record time
    t(:,i+1) = t(:,i) + dT;
    
    % slide model plane
    s = c*x_2(:,i) + x_1(:,i);
    
    % control input
    u = -epsilon * sign(s) - 2 * x_2(:,i);
    u = -epsilon * sign(s) - k * s - 2 * x_2(:,i);
    u = -k * abs(s)^alpha * sign(s) - k * s - 2 * x_2(:,i);
    
    % update states
    dot_x_2 = u;
    x_2(:,i+1) = x_2(:,i) + dT * dot_x_2;
    dot_x_1 = x_2(:,i+1);
    x_1(:,i+1) = x_1(:,i) + dT * dot_x_1;
end

%%
plot(t,x_1, t,x_2, 'linewidth',1.5);
legend('$x_1$', '$x_2$', 'interpreter','latex');
grid on;
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42

Ref.

1. 滑模控制器最强解析