自动控制原理8.5---非线性控制的逆系统方法

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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5.非线性控制的逆系统方法

逆系统法要求系统中非线性特性是解析的；

5.1 非线性系统的反馈线性化

设非线性二阶系统表示如下：
$$\ddot{y}=f(y,\dot{y})+u$$
取$y，\dot{y}$为状态，$u$为控制输入，使用反馈控制律，
$$u=v-f(y,\dot{y})$$
则闭环系统变换由方程：
$$\ddot{y}=v$$
表示的线性系统，变换后系统的控制问题即可用线性方法解决；

这种采用非线性状态反馈将非线性系统完全变换为线性系统的方程称为反馈线性化；

5.2 逆系统方法的基本思想

从数学模型角度看，系统相当于对象在给定条件下，输入到输出的一个变换，即$T:u\to y[y[0]=y_0,\dot{y}(0)={\dot{y}}_0,\dots ,y^{(n-1)}(0)=y_0^{(n-1)},n为系统阶次]$，$y$为$n$阶可微函数，若在满足初始条件的情况下，存在一个系统即变换$\hat{T}:y\to u$，则称该系统为原系统的逆系统，即有：
$$T\hat{T}y=Tu=y$$
取：
$$\varphi =y^{(l)}(t)$$
若有系统${\hat{T}}_l:\varphi \to u$使下式成立：
$$T{\hat{T}}_l\varphi =Tu=y$$
则称该系统为原系统的$l$阶积分逆系统；

设非线性系统的微分方程为：
$$y^{(n)}=f[y,\dot{y},\dots ,y^{(n-1)},u,\dot{u},\dots ,u^{(m)}]$$
原系统的结构如下图所示：

假设原非线性系统存在连续解：
$$u^{(m)}=g[y,\dot{y},\dots ,y^{(n)},u,\dot{u},\dots ,u^{(m-1)}]$$
且满足原系统所给的初始条件，取$\varphi =y^{(n)}(t)$，则$n$阶积分逆系统结构如下图所示：

5.3 伪线性系统

将$n$阶积分逆系统和原系统相串联构成复合系统，称为伪线性系统；

$y,\dot{y},\dots ,y^{(n-1)}$均可测量时，伪线性系统的结构如下图所示：

实例分析：

$Example1：$ 已知某非线性系统的数学模型为：
$$\ddot{y}-2\dot{y}y+2y^2=u+2\dot{u}$$
求对应的伪线性系统结构。

解：

由原系统方程可得：
$$\dot{u}=\frac{1}{2}\ddot{y}-\dot{y}y+y^2-\frac{1}{2}u$$
取伪线性系统的输入为：
$$\varphi =\ddot{y}$$
则逆系统方程为：
$$\dot{u}=\frac{1}{2}\varphi -\dot{y}y+y^2-\frac{1}{2}u$$
可得：
$$\ddot{y}=\varphi ，Y(s)=\frac{1}{s^2}\Phi (s)$$
伪线性系统等效为二重积分，实现形式如下图所示：

5.4 非线性控制的逆系统设计方法

1. 状态反馈控制

   设$y,\dot{y},\dots ,y^{(n-1)}$可测量，取状态反馈控制器如下图所示：

   

   其中：
   $$\varphi =r-v,v=\sum _{i=0}^{n-1}{k}_i{y}^{(i)}$$
   反馈网络传递函数为：
   $$H(s)=\frac{V(s)}{Y(s)}=\sum _{i=0}^{n-1}{k}_i{s}^i$$
   若要求通过外环状态反馈控制器使闭环系统极点位于给定位置，即有：
   $$\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{1}{s^n+\sum _{i=0}^{n-1}{a}_i{s}^i}$$
   则由上图可得，系统闭环传递函数为：
   $$\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{\frac{1}{s^n}}{1+\frac{1}{s^n}H(s)}=\frac{1}{s^n+\sum _{i=0}^{n-1}{k}_i{s}^i}$$
   比较上两式分母多项式关于$s$的同次幂系数，可得：
   $$k_i=a_i;i=0,1,\dots ,n-1$$

2. 渐近跟踪控制

   渐近跟踪控制系统结构图如下图所示：

   

   其中：$G_c(s)$为串联控制器，具有如下形式：
   $$G_c(s)=\frac{\sum _{i=0}^{l+1}{b}_i{s}^i}{s^{l+1}}$$
   通过选择控制参数$b_i(i=0,1,\dots ,l+1)$设置闭环零点和选择参数$k_i(i=0,1,2,\dots ,n-1)$设置闭环极点，可使闭环系统渐近稳定且具有满意的动态特性；