四元数求导

四元数求导

预备知识回顾

• 单位四元数可以表达任意三维旋转，并且不存在奇异性。

• 四元数和角轴的转换关系：

  • 假设某个旋转运动的旋转轴为单位向量 $\mathbf{u}$ ，绕该轴的角度为 $\theta$ ，那么它对应的单位四元数为：
    q = [ cos ⁡ θ 2 u sin ⁡ θ 2 ] \mathbf{q}=\left[

    cos⁡θ2usin⁡θ2" role="presentation" style="position: relative;">cosθ2usinθ2$$\begin{array}{c}\cos \frac{\theta }{2}\\ \mathbf{u}\sin \frac{\theta }{2}\end{array}$$
    \right] q=[cos2θ​usin2θ​​]

  • 当旋转一段微小时间，即角度趋于 $0$ 时，容易有：
    Δ q = [ cos ⁡ δ θ 2 u sin ⁡ δ θ 2 ] ≈ [ 1 u δ θ 2 ] = [ 1 1 2 δ θ ] \Delta \mathbf{q}=\left[

    cos⁡δθ2usin⁡δθ2" role="presentation" style="position: relative;">cosδθ2usinδθ2$$\begin{array}{c}\cos \frac{\delta \theta }{2}\\ \mathbf{u}\sin \frac{\delta \theta }{2}\end{array}$$
    \right] \approx\left[
    1uδθ2" role="presentation" style="position: relative;">1uδθ2$$\begin{array}{c}1\\ \mathbf{u}\frac{\delta \theta }{2}\end{array}$$
    \right]=\left[
    112δθ" role="presentation">112δθ$$\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{2}\mathit{\delta }\mathit{\theta }\end{array}$$
    \right] Δq=[cos2δθ​usin2δθ​​]≈[1u2δθ​​]=[121​δθ​]
    其中 $\delta \theta$ 的方向表示旋转轴，模长表示旋转角度。

• 角速度：
  $$\mathbf{\omega }=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\delta \mathbf{\theta }}{\Delta t}$$

求导

• 四元数对时间的导数：
  q ˙ ≜ lim ⁡ Δ t → 0 q ( t + Δ t ) − q ( t ) Δ t = lim ⁡ Δ t → 0 q ⊗ Δ q − q Δ t = lim ⁡ Δ t → 0 q ⊗ ( [ 1 1 2 δ θ ] − [ 1 0 ] ) Δ t = q ⊗ [ 0 1 2 ω ]
  q˙≜limΔt→0q(t+Δt)−q(t)Δt=limΔt→0q⊗Δq−qΔt=limΔt→0q⊗([112δθ]−[10])Δt=q⊗[012ω]" role="presentation">q˙≜limΔt→0q(t+Δt)−q(t)Δt=limΔt→0q⊗Δq−qΔt=limΔt→0q⊗([112δθ]−[10])Δt=q⊗[012ω]$$\begin{array}{rl}\dot{\mathbf{q}}& \triangleq \underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathbf{q}(t+\mathrm{\Delta }t)-\mathbf{q}(t)}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathbf{q}\otimes \mathrm{\Delta }\mathbf{q}-\mathbf{q}}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathbf{q}\otimes \left(\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{1}{2}\delta \theta \end{array}\right]-\left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right]\right)}{\mathrm{\Delta }t}\\ & =\mathbf{q}\otimes \left[\begin{array}{c}0\\ \frac{1}{2}\omega \end{array}\right]\end{array}$$
  q˙​​≜Δt→0lim​Δtq(t+Δt)−q(t)​=Δt→0lim​Δtq⊗Δq−q​=Δt→0lim​Δtq⊗([121​δθ​]−[10​])​=q⊗[021​ω​]​