【动态规划】leetcode 62. 不同路径

62. 不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例1：

输入： m = 3, n = 7
输出： 28

示例2：

输入： m = 3, n = 2
输出： 3
解释：
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例3：

输入： m = 7, n = 3
输出： 28

示例4：

输入： m = 3, n = 3
输出： 6

提示

• $1<=m,n<=100$
• $题目数据保证答案小于等于2\ast 10^9$

方法：动态规划

解题思路

1. 确定 dp 数组以及下标的含义
   dp[i][j] 的定义：表示 (0,0) 出发到 (i,j) 共有 dp[i][j] 条路径。

2. 确定递推公式
   想要求 dp[i][j]，只能有两个方向来推导出来，即 dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - 1]。

   所以 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j-1];

3. dp 数组如何初始化
   (0,0) 到 (0,i) 和 (i,0) 都只有一条路径。

   所以初始化代码为：

	int dp[m][n];
    for(int i = 0; i < m; i++)  dp[i][0] = 1;
    for(int i = 0; i < n; i++)  dp[0][i] = 1;
1
2
3

4. 确定遍历顺序
   这里要看一下递归公式 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j] 都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。
5. 举例推导 dp 数组
   拿示例 1：m = 3, n = 7：

   1	1	1	1	1	1	1
   1	2	3	4	5	6	7
   1	3	6	10	15	21	28

代码

class Solution {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        int dp[m][n];
        for(int i = 0; i < m; i++)  dp[i][0] = 1;
        for(int i = 0; i < n; i++)  dp[0][i] = 1;
        for(int i = 1; i < m; i++)
            for(int j = 1; j < n; j++)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        return dp[m - 1][n - 1];
    } 
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n\times m)$。
• 空间复杂度：$O(n\times m)$。