猿创征文｜【概率论基础进阶】随机事件和概率-概率及概率公式

一、概率公理

定义：设试验$E$的样本空间$\Omega$，称实值函数$P$为概率，如果$P$满足如下三条件

• 对于任意事件$A$，有$P(A)\ge 0$
• 对于必然事件$\Omega$，有$P(\Omega )=1$
• 对于两两互斥的可数无穷个事件$A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots ,$有
  $$P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\cup \cdots )=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n)+\cdots$$
  称$P(A)$维事件$A$的概率

由概率的定义，可推得概率的一些重要性质

性质：

• $P(\varnothing )=0$
• 对于两两互斥的有限个事件$A_1,A_2,\cdots ,A_n$，有
  $$P(A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots +P(A_n)$$
• $P(\bar{A})=1-P(A)$
• $A\subset B$，则$P(A)\le P(B)$
• $0\le P(A)\le 1$

二、条件概率

定义：设$A,B$为两事件，且$P(A)>0$，称
$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
为事件$A$发生的条件下事件$B$发生的条件概率

条件概率也是概率，条件概率也有概率相应的各项性质

三、独立

定义：设$A,B$两事件满足等式
$$P(AB)=P(A)P(B)$$
则称$A$与$B$相互独立

互斥事件是一次试验下出现的不同事件，独立事件是两次或更多次不同试验出现的不同事件

作者：淮水安南网络
链接：独立事件与互斥事件的区别与联系

正是因为独立事件是在不同试验下的事件，因此不能用点定义，因为只有同一试验才能用点来表示不同事件，不同试验其对应的$\Omega$都不是一个（这句话是我胡写的，可能不是很严谨）

设$A,B,C$三事件满足等式
$$\begin{array}{rl}P(AB)& =P(A)P(B)\\ P(AC)& =P(A)P(C)\\ P(BC)& =P(B)P(C)\\ P(ABC)& =P(A)P(B)P(C)\end{array}$$
则称$A,B,C$三事件相互独立，满足以上四等式中前三个则称$A,B,C$三事件两两独立

设$A_1,A_2,\cdots ,A_n$是$n$个事件，如果对于任意$k(1<k\le n)$，任意$1\le i_1<i_2<\cdots <i_k\le n$满足等式
$$P(A_{i_1}{A}_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k})$$
则称$A_1,A_2,\cdots ,A_n$为相互独立的事件

$n$个事件相互独立需要$C_n^2+C_n^3+\cdots +C_n^n=2^n-n-1$个等式成立

不可能事件与任何事件既独立，又互斥
证明：
互斥显然，这里证明独立
显然有$P(\varnothing )=0,\varnothing A=\varnothing$，有
$$P(\varnothing A)=P(\varnothing )=0=P(\varnothing )P(A)$$

必然事件与任何事件独立
证明：
显然有$P(\Omega )=1,\Omega A=\Omega$，有
$$P(A\Omega )=P(\Omega )=1=P(\Omega )P(A)$$

因此，即使$A\subset B$，$A,B$也有可能独立，当$B$为$\Omega$时

$P(\varnothing )=0$，若$P(A)=0\nRightarrow A=\varnothing$
$P(\Omega )=1$，若$P(A)=1\nRightarrow A=\Omega$

例如：
按爱因斯坦相对论，物体最高速度是光速c，那么一个物体的速度集合：
0.1c，0.5c，1c，1.5c，2.0c
全集肯定就是这5个速度了
但站在可能性角度（事件发生概率）来说，只有0.1c，0.5c，1c是可能发生的，也就是说，子集发生的概率就是1，但这仅仅是一个子集。
换句话说，由于集合内存在不可能的事件，所以概率1和全集并非等同概念。

作者：Suzics
链接：概率论中，P(A)=1为什么不能得出A为全集？

性质

$A$与$B$相互独立的充要条件是$A$与$\bar{B}$或$\bar{A}$与$B$或$\bar{A}$与$\bar{B}$相互独立
这里仅证明若$A$与$B$相互独立则$A$与$\bar{B}$相互独立，其余同理
证明：
$$\begin{array}{rl}P(A\bar{B})& =P(A-B)=P(A)-P(AB)\\ & =P(A)-P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)]\\ & =P(A)P(\bar{B})\end{array}$$

当$0<P(A)<1$使，$A$与$B$独立等价于$P(B|A)=P(B)$或$P(B|A)=P(B|\bar{A})$成立

描述的就是$A$发不发生与$B$发生没关系

设有两个命题$p$和$q$，如果$p$与$q$能互推（即无论是由$q$推出$p$还是$p$推出$q$都成立），则称$p$是$q$的充分必要条件，简称充要条件，也称$p$与$q$等价。

链接：百度百科-等价

若$A_1,A_2,\cdots ,A_n(n>2)$相互独立，则$A_1,A_2,\cdots ,A_n$必两两独立。反之，若$A_1,A_2,\cdots ,A_n$两两独立，则$A_1,A_2,\cdots ,A_n$不一定相互独立

当$A_1,A_2,\cdots ,A_n$相互独立时，它们的部分事件也是相互独立的

将相互独立的$n$个事件中任何几个事件换成它们相应的对立事件，则这新组成的$n$个事件也相互独立

例1：$0<P(A)<1,P(B|A)=1$，说明无法证明$B=\Omega ,A\subset B$，证明：$P(A-B)=0$

题目中给的是概率，而$B=\Omega ,A\subset B$属于事件，概率推不出事件的结论

也可理解为，概率对应的是面积，而事件对印的是点，面积是推不出点的。也就是概率关系不能反过来推事件关系（除了独立关系以外）。
注意事件关系可以推出概率关系，概率关系不能反过来推事件关系。
其实就是，若$P(\varnothing )=0,P(A)=0\nRightarrow A=\varnothing$的一个体现

$$\begin{array}{rl}P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}& =1\\ P(A)& =P(AB)\\ P(A-B)=P(A)-P(AB)& =0\end{array}$$
也可
$$\begin{array}{rl}P(B|A)& =1\\ P(\bar{B}|A)& =0\\ \frac{P(\bar{B}A)}{P(A)}& =0\\ P(A-B)=P(A\bar{B})& =0\end{array}$$

此处用到了$P(B|A)+P(\bar{B}|A)=1$
证明：
$$\begin{array}{rl}P(B|A)+P(\bar{B}|A)& =\frac{P(AB)+P(A\bar{B})}{P(A)}\\ & =\frac{P(AB\cup A\bar{B})}{P(A)}\\ & =\frac{P(A\cap (B\cup \bar{B}))}{P(A)}\\ & =\frac{P(A\cap \Omega )}{P(A)}=1\end{array}$$

例2：设事件$A,B,C$两两独立，证明：$A$和$BC$独立是$A,B,C$相互独立的充分必要条件

充分性
$$P(ABC)\stackrel{A,BC独立}{=}P(A)P(BC)\stackrel{B,C独立}{=}P(A)P(B)P(C)$$
必要性
$$P(ABC)=P(A)P(B)P(C)\stackrel{B,C独立}{=}P(A)P(BC)$$

就本题，其实可以说明只要条件是三个事件都只出现一遍，其中任意两个组成一对（中间是交并都可以），另一个单独出来，都是$A,B,C$相互独立的充要条件
这里给出$A$和$\bar{B}\cup C$为条件的证明
充分性
由于$A$和$\bar{B}\cup C$独立，以及
$$\overline{\bar{B}\cup C}=B\bar{C}$$
可知$A$和$B\bar{C}$独立，有
$$P(AB\bar{C})=P(A)P(B\bar{C})\stackrel{B,C独立}{=}P(A)P(B)P(\bar{C})$$
由题意，易得$A,B,\bar{C}$两两独立，因此$A,B,\bar{C}$互相独立，有$A,B,C$互相独立

注意，这里落脚点不是直接证明$A,B,C$独立，而是根据给出的条件，看化成交的形式的事件都是什么，本题显然是$A,B,\bar{C}$，因此证明$A,B,\bar{C}$独立

必要性同充分性构造的方法，很简单，不再证明

四、五大公式

加法公式

$$\begin{array}{rl}P(A\cup B)=& P(A)+P(B)-P(AB)\\ P(A\cup B\cup C)=& P(A)+P(B)+P(C)\\ & -P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)\end{array}$$

例3：已知$P(A)=0.4,P(AB)=0.2$且$P(A|B)+P(\bar{A}|\bar{B})=1$，则$P(A\cup B)=()$

注意$P(AB)\ne 1-P(\bar{A}\bar{B})$，而应该是$P(AB)=1-P(\overline{AB})=1-P(\bar{A}\cup \bar{B})$

$$\begin{array}{rl}P(A\cup B)& =P(A)+P(B)-P(AB)\\ P(A|B)& =1-P(\bar{A}|\bar{B})=P(A|\bar{B})\Rightarrow A,B独立\\ P(AB)& =P(A)P(B)\Rightarrow P(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}=0.5\\ P(A\cup B)& =0.4+0.5-0.2=0.7\end{array}$$

此处用到的$P(A|B)=P(A|\bar{B})\Rightarrow A,B独立$
证明：
$$\begin{array}{rl}P(A|B)& =P(A|\bar{B})\\ \frac{P(AB)}{P(B)}& =\frac{P(A\bar{B})}{P(\bar{B})}\\ P(\bar{B})P(AB)& =P(B)P(A\bar{B})\\ (1-P(B))P(AB)& =P(B)P(A\bar{B})\\ P(AB)-P(B)P(AB)& =P(B)P(A\bar{B})\\ P(AB)& =P(B)(P(AB)+P(A\bar{B}))\\ P(AB)& =P(B)P(AB\cup A\bar{B})\\ P(AB)& =P(B)P(A\cup (B\bar{B}))\\ P(AB)& =P(B)P(A)\end{array}$$
这个公式要注意$\bar{B}$而不是$\bar{A}$

也可以
$$\begin{array}{rl}P(A|B)& =1-P(\bar{A}|\bar{B})=P(A|\bar{B})\Rightarrow A,B独立\\ P(AB)& =P(A)P(B)\Rightarrow P(B)=\frac{P(AB)}{P(A)}=0.5\\ P(A\cup B)& =1-P(\bar{A}\bar{B})\\ & =1-P(\bar{A}|\bar{B})P(\bar{B})\\ & =1-(1-P(A|B))(1-P(B))\\ & =1-0.6\times 0.5=0.7\end{array}$$

例4：已知随机事件$A$与$B$同时发生必然导致事件$C$发生，证明：$P(C)\ge P(A)+P(B)-1$

$A$与$B$同时发生必然导致事件$C$发生，即$AB\subset C$，就有
$$P(AB)\le P(C)$$

也就是上面的事件关系可以推出概率关系，概率关系不能反过来推事件关系

举个例子：
若事件$b$与事件$a$互为对立事件，则$P(a)=1-P(b)$，它们的概率关系只可能是这样；
反过来：$P(a)=1-P(b)$不能说明两事件相互对立，也可能只是$P(a)$的大小碰巧为$1-P(b)$这个数值。

作者：隽淑珍艾丑
链接：概率关系和事件关系的区别？

要证$P(A),P(B)$，条件中有$P(AB)$，想到加法公式
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\ge P(A)+P(B)-P(C)$$
又要与$1$比较，显然有
$$\begin{array}{rl}1& \ge P(A\cup B)\ge P(A)+P(B)-P(C)\\ P(C)& \ge P(A)+P(B)-1\end{array}$$

减法公式

$P(A-B)=P(A)-P(AB)$

乘法公式

当$P(A)>0$时，$P(AB)=P(A)P(B|A)$
当$P(A_1{A}_2\cdots A_{n-1})>0$时，$P(A_1{A}_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)\cdots P(A_n|A_1{A}_2\cdots A_{n-1})$

全概率公式

设$B_1,B_2,\cdots ,B_n$，满足$\bigcup _{i=1}^n{B}_i=\Omega ,B_i{B}_j=\varnothing (i\ne j)$且$P(B_k)>0,k=1,2,\cdots ,n$，则对任意事件$A$有
$$P(A)=\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$$
其中，称满足$\bigcup _{i=1}^n{B}_i=\Omega$和$B_i{B}_j=\varnothing (i\ne j)$的$B_1,B_2,\cdots ,B_n$为$\Omega$的一个完备事件组

贝叶斯公式

设$B_1,B_2,\cdots ,B_n$满足$\bigcup _{i=1}^n{B}_i=\Omega ,B_i{B}_j=\varnothing (i\ne j)$且$P(A)>0,P(B_k)>0,k=1,2,\cdots ,n$，则
$$P(B_j|A)=\frac{P(B_j)P(A|B_j)}{\sum _{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)},j=1,2,\cdots ,n$$

计算相互独立事件的概率时，常将事件之间的“并”或“差”转化成“交”来计算，因为事件的独立性是用事件之交的概率来定义的。而将相互独立事件汇总某个或某几个事件换成相应的对立事件并不影响他们之间的相互独立性，所以“并”或“差”转化成“交”后，常常会带来计算上的方便

例5：$P(AB\cup \bar{A}\bar{B})=0$，证明：$P(A)=P(\bar{B})$

注意这里有并集的概率为$0$，则每个被并的概率都为$0$

$$\begin{array}{rl}P(AB\cup \bar{A}\bar{B})& =P(AB)+P(\bar{A}\bar{B})=0\\ & \Rightarrow P(AB)=0,P(\bar{A}\bar{B})=0\\ 0=P(\bar{A}\bar{B})& =1-P(A\cup B)\\ & =1-P(A)-P(B)+\underset{0}{\underbrace{P(AB)}}\\ 0& =1-P(A)-P(B)\\ 0& =P(\bar{B})-P(A)\end{array}$$

例6：设随机事件$A$与$B$相互独立，$P(B)=0.5,P(A-B)=0.3$，求$P(B-A)=()$

一般思路也能做出来，这里用画图的方法

$$P(AB)=P(A)P(B)=\frac{P(A)}{2}$$
这里意味着，$A,B$相交的区域和$A-B$的区域一样大，即
$$P(A-B)=P(AB)=0.3$$
又因为$P(B)=0.5$，$P(AB)=0.3$，即$A,B$相交的区域为$0.3$，因此$B$独占的区域，即$B-A$的区域$P(B-A)=0.2$

例7：设$A,B,C$为三个随机事件，且$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4},P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=\frac{1}{12}$，则$A,B,C$全不发生的概率为（）

$A,B,C$全不发生的事件为$\bar{A}\bar{B}\bar{C}$
$$\begin{array}{rl}P(\overline{ABC})& =1-P(A\cup B\cup C)\\ & =1-[P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)]\\ & =1-(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-0-\frac{1}{12}-\frac{1}{12}+\underset{0}{\underbrace{P(ABC)}})\\ & =\frac{5}{12}\end{array}$$

对于整体事件的部分事件概率为$0$或$1$，要注意这些部分事件的交并运算，类似本题，由于$P(AB)=0$，即事件$A,B$同时发生的概率是$0$，那么无论再加上什么事件一同发生，概率都为$0$，即$P(ABC)=0$。类似地，如果本题是$P(AB\cup C)$，显然有$P(AB\cup C)=P(AB)+P(C)-P(ABC)=P(C)$

本题也可以用画图