【动态规划】leetcode 213. 打家劫舍 II

213. 打家劫舍 II

题目描述

你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。

给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。

示例1：

输入： nums = [2,3,2]
输出： 3
解释： 你不能先偷窃 1 号房屋（金额 = 2），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 2）, 因为他们是相邻的。

示例2：

输入： nums = [1,2,3]
输出： 3

提示

• $1<=nums.length<=100$
• $0<=nums[i]<=1000$

方法：动态规划

解题思路

这道题其实和 198. 打家劫舍 解法差不多，区别在于这道题目的数组是成环的。

这道题目分成三种情况：
情况一： 考虑不包含首尾元素，即下标范围为 [1,n-2]

情况二： 考虑包含首元素，但不包含尾元素，即下标范围为 [0,n-2]

情况三： 考虑不包含首元素，但包含尾元素，即下标范围为 [1,n-1]

而情况一被包括在情况二和三里面了，所以不用考虑。
接下来动态规划的分析五部曲和 198. 打家劫舍 一样。

1. 确定 dp 数组以及下标的含义
   dp[i] 的定义：达到第 i 个房间所能偷窃到的最高金额。

2. 确定递推公式
   决定 dp[i] 的因素是第 i 房间偷还是不偷。

   如果偷第 i 座房屋，那么 dp[i] = dp[i - 2] + nums[i]; 即第 i - 1 座房屋是不考虑的，找出 i - 2 座房屋可以偷到的最大金额再加上当前第 i 座房屋可以偷到的金额。

   如果不偷第 i 座房屋， 那么 dp[i] = dp[i-1]; 即考虑 i - 1 座房屋可以偷到的最大金额。

   最后取两种情况取最大值，即 dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i-1]);

3. dp 数组如何初始化
   那么看一下递归公式，dp[i] 由 dp[i - 1]，dp[i - 2] 推出，既然初始化所有的 dp[i] 是不可能的，那么只初始化 dp[0] 和 dp[1] 就够了，其他的最终都是 dp[0]、dp[1]推出。

   所以初始化代码为： dp[0] = nums[0], dp[1] = max(nums[0], nums[1]);

4. 确定遍历顺序
   dp[i] 是由 dp[i - 1]、dp[i - 2]推出，所以是从前到后遍历 nums 数组就可以了。

5. 举例推导 dp 数组
   拿示例 2：nums = [2, 7, 9, 3, 1] ，来模拟一下 dp 数组的状态变化，如下：

   下标 i	0	1	2	3	4
   nums[i]	2	7	9	3	1
   dp[i]	2	7	11	11	12

代码

class Solution {
public:
    int rob(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        if(n == 1)  return nums[0];
        int result1 = robRange(0, n - 2, nums);
        int result2 = robRange(1, n - 1, nums);
        return max(result1, result2);
    }
    int robRange(int start, int end, vector<int>& nums) {
        if(end == start)    return nums[start];
        vector<int> dp(nums.size());
        dp[start] = nums[start];
        dp[start + 1] = max(nums[start], nums[start + 1]);
        for(int i = start + 2; i <= end; i++)
            dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]);
        return dp[end];
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。