【控制】自适应控制，模型参考自适应控制，参考模型如何求取，有程序有图

1 问题描述

在之前的文章【控制】自适应控制，模型参考自适应控制，公式推导，有程序有结果图中，我们就被控系统如何跟随参考模型的问题进行了分析，设计了跟踪控制器 $u$。当被控系统中参数 $a,b$ 未知时，给出来了如何更新估计参数的方法。

本节我们基于控制器 $u$，来推导如何求取参考模型。首先概述下之前的结论。

1.1 被控对象

假设存在一个单输入单输出的标量系统，其模型表达式为式 (1)
$$\dot{x}=ax+bu\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $x$ 表示系统状态，$u$ 表示系统控制输入，$a,b$ 是常数。

1.2 参考模型

关于参考模型，我们有
$${\dot{x}}_r=a_r{x}_r+b_{r}r\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中 $a_r<0$。因为只有 $a_r$ 是负定的，系统才存在平衡状态。

1.3 跟踪控制器

因此，可以设计控制器为
u = a r − a b x + b r b r − K b e (3)

\tag{3} u​=bar​−a​x+bbr​​r−bK​e​(3)

2 参考模型的选择

在式 (3) 这种形式下的控制器是可以让被控系统实现对参考模型的跟随的。观察式 (3)，我们知道 $u$ 是由变量 $x,r,e$ 和参数 $a,b,a_r,b_r$ 共同决定的。在之前的文章分析中，我们假定 $a_r,b_r$ 是已知的，分析了 $a,b$。本文接下来将假定 $a,b$ 已知，分析如何求取想要的参考模型，也就是 $a_r,b_r$ 的值。

式 (3) 形式比较复杂，并且 $a_r,b_r$ 的影响关系不够清晰。我们这里引入两个参数 $k_1,k_2$ 来简化下，令 $u=k_{1}x+k_{2}r-\frac{K}{b}e$，有
u = a r − a b x + b r b r − K b e = k 1 x + k 2 r − K b e (4)

\tag{4} u​=bar​−a​x=k1​x​+bbr​​r+k2​r​−bK​e−bK​e​(4)

于是我们可以得到一个更简便的描述方式
k 1 = a r − a b ⇒   a r − a = b k 1 k 2 = b r b ⇒          b r = b k 2 (5)

\tag{5} k1​k2​​=bar​−a​=bbr​​​⇒ ar​−a⇒        br​​=bk1​=bk2​​(5)

得到的式 (5) 将 $a_r,b_r$ 独立开来了。我们能够很清晰的看到，$a_r$ 由 $a,b,k_1$ 决定，$b_r$ 由 $b,k_2$ 决定，并且二者从形式上互不影响。

接下来，只需要调整 $k_1,k_2$ 使参考模型达到想要的效果即可。同时被控对象也是一定能同步跟随的。

3 实验验证

3.1 $k_1=-5,k_2=2$

令 $k_1=-5,k_2=2$，看下程序运行效果，虽然参考模型效果不太好，但是被控系统依然能跟随着参考模型。

3.2 $k_1=5,k_2=-2$

令 $k_1=5,k_2=-2$，可以看到参考模型本身已经崩溃了😂，那就证明参数不合适，再调整。

3.3 $k_1=-5,k_2=-2$

令 $k_1=-5,k_2=-2$，对比实验 3.1，感觉参考模型状态 $x_r$ 和参考信号 $r$ 位于纵轴的两侧。这里分享一点调整经验，之所以会位于两侧是因为参数 $b_r$ 取反了造成的，这时将 $k_2$ 取相反数即可，对应的 $b_r$ 也就回来了。

3.4 $k_1=-10,k_2=2$

3.5 实验用程序

clear
clc

%% Initial states
% controlled system
a = 1.6;
b = 0.5;
x(1,1) = rand;
u(1,1) = rand;

% reference model
% a_r = -4;
% b_r = 4;
k_1 = -10;
k_2 = 2;
a_r = a + b*k_1;
b_r = b*k_2;
x(1,1) = rand;
x_r(1,1) = 0;
r(1,1) = 0;

% adaptive parameters
K = 1;

%% Time parameters
tBegin = 0;
tFinal = 50;
dT = 0.1;
times = (tFinal-tBegin)/dT;
t(1,1) = tBegin;

% Iteration
for k=1:times
    % record time
    t(:,k+1) = t(:,k) + dT;
    
    % update x_r
    if mod(t(:,k),4) >= 2
        % non-control
        r(:,k+1) = 2;  
    else
        r(:,k+1) = 0;
    end
    dot_x_r = a_r * x_r(:,k) + b_r * r(:,k+1);
    x_r(:,k+1) = x_r(:,k) + dT * dot_x_r;
    
    % calculate error
    e = x(:,k) - x_r(:,k);

    % calculate input
    u(:,k+1) = (a_r-a)/b * x(:,k) + b_r/b * r(:,k) - K/b * e;
    
    % update controlled system
    dot_x = a * x(:,k) + b * u(:,k+1);
    x(:,k+1) = x(:,k) + dT * dot_x;
end

%% 
subplot(2,1,1)
plot(t,r, t,x_r, 'linewidth',1.5)
legend('reference signal $r$', 'reference model state $x_r$', 'interpreter','latex')
grid on

subplot(2,1,2)
plot(t,r, t,x_r, t,x, 'linewidth',1.5)
legend('reference signal $r$', 'reference model state $x_r$', 'controlled state $x$', 'interpreter','latex')
grid on
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4 结论

总之，得到参考模型参数 $a_r,b_r$ 与被控对象 $a,b$ 之间的关系后，不停的调节参数 $k_1,k_2$ 即可。调整出来的参考模型不仅符合自己的预期（当然，什么是预期效果只有自己知道），同时还满足跟踪条件。