带权并查集

学习的最大理由是想摆脱平庸，早一天就多一份人生的精彩；迟一天就多一天平庸的困扰。

学习日记

目录

学习日记

一、并查集

 1、初始化

 2、查找

3、路径压缩 

 4、合并

5、按秩合并

 二、带权并查集

1、定义

例

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一、并查集

        并查集是一种树形的数据结构，顾名思义，它用于处理一些不交集的合并 及 查询 问题。 它支持两种操作：

查找（ Find ）：确定某个元素处于哪个子集。

合并（ Union ）：将两个子集合并成一个集合。

 1、初始化

for (int i = 0; i < size; i++) fa[i] = i; // i 就在它本身的集合里

 2、查找

         一个故事：几个家族进行宴会，但是家族普遍长寿，所以人数众多。由于长时间的分离以 及年龄的增长，这些人逐渐忘掉了自己的亲人，只记得自己的爸爸是谁了，而最长者（称为【祖先】）的父亲已经去世，他只知道自己是祖先。为了确定自己是哪个家族，他们想出了一个办法：

        只要问自己的爸爸是不是祖先，一层一层的向上问，直到问到祖先。

        

        如果要判断两人是否在同一家族，只要看两人的祖先是不是同一人就可以了。 在这样的思想下，并查集的查找算法诞生了。

 

 

int find(int x) 
{ 
    if(fa[x] != x) return find(fa[x]); 
    return fa[x]; 
}

3、路径压缩 

        这样可以达成目的，但是显然效率实在太低。我们使用了太多没用的信息，我的祖先是谁与我父亲是谁没什么关系，这样一层一层找太浪费时间，不如我直接当祖先的儿子，问

一次就可以出结果了。甚至祖先是谁都无所谓，只要这个人可以代表我们家族就能得到想要的效果。把在路径上的每个节点都直接连接到根上 ，这就是路径压缩。

 

int find(int x) 
{ 
    if(fa[x] != x) fa[x] = find(fa[x]);//将祖宗变为其每个子节点的父亲 
    return fa[x];//最终返回祖宗节点 
}

 4、合并

        宴会上，一个家族的祖先突然对另一个家族说：我们两个家族交情这么好，不如合成一家好了。另一个家族也欣然接受了。我们之前说过，并不在意祖先究竟是谁，所以只要其中一个祖先变成另一个祖先的儿子就可以了。

 

 

void merge(int x, int y)
{ 
    int pa = find(x), pb = find(y);//找到x，y的祖宗 
    if(pa != pb) fa[pa] = pb;//祖宗不一样（即：x，y不在同一个集合）；将pb作为pa 的父亲 
}

5、按秩合并

        合并时的小优化 -- 将一棵点数与深度都较小的集合树连接到一棵更大的集合树下。

在实际代码中，即便不使用启发式合并，代码也能够在规定时间内完成任务。

std::vector<int> size(N, 1); // 记录并初始化子树的大小为 1 
void merge(int x, int y) 
{ 
    int xx = find(x), yy = find(y); 
    if (xx == yy) return; 
    if (size[xx] > size[yy]) // 保证小的合到大的里 
    swap(xx, yy); 
    fa[xx] = yy; 
    size[yy] += size[xx]; 
}

 二、带权并查集

1、定义

        在并查集的边上定义某种权值 ( 一般定义 点到祖宗的距离 ) 、以及这种权值在路径压缩时产生的运 算，从而解决更多的问题。

        例如，对于经典的「NOI2001 」食物链，我们可以在边权上维护模 3 意义下的加法群。

int find(int x) 
{ 
    if(x != fa[x]) 
    { 
        int t = fa[x];//将x的父亲临时保存 
        fa[x] = find(fa[x]);//这是x的父亲已经变为祖宗 
        dis[x] += dis[t];//x原父亲t的距离已经变为到祖宗的距离，x到原父亲距离+原父亲到 祖宗距离 = x到祖宗距离 
    }
    return fa[x]; 
}

 

例

        食物链  

#include <iostream> 
#include <cstring> 
#include <algorithm> 
using namespace std; 
const int N = 5e4 + 10; 
int p[N], d[N]; int n, k; 
 
int find(int x) 
{ 
    if(x != p[x]) 
    { 
        int t = p[x]; 
        p[x] = find(p[x]); 
        d[x] += d[t]; }return p[x]; 
    }
 
int main() 
{ 
    cin >> n >> k; 
    for(int i = 0; i < n; i ++ ) 
    p[i] = i; int ans = 0; 
    while(k --) 
    { 
        int x, y, op; 
        cin >> op >> x >> y; 
        if(x > n || y > n) 
        { 
            ans ++; continue; 
        }
        int pa = find(x), pb = find(y); 
        if(op == 1)//判断x，y是否为同类（d[x]=d[y]，在%3意义下） 
        { 
            if(pa == pb && ((d[x] - d[y]) % 3 + 3) % 3 != 0) ans ++;// 一个集合，但是不是同类 
            if(pa != pb) p[pa] = pb, d[pa] = ((d[y] - d[x]) % 3 + 3) % 3;//不在一个集合，将其合并 
        }
        else// 判断x是否捕食y（d[x]-d[y]=2，在%3意义下） 
        { 
            if(pa == pb && ((d[x] - d[y]) % 3 + 3) % 3 != 2) ans ++;// 一个集合，但不是捕食关系 
            if(pa != pb) p[pa] = pb, d[pa] = ((2 + d[y] - d[x]) % 3 + 3) % 3; 
        } 
    }
    cout << ans << '\n';
    return 0; 
}