Kruskal重构树 学习笔记

至于为什么会学这个科技，是因为一道题。

什么是 $Kruskal$ 重构树

通常来说，$Kruskal$ 算法是用来求最小生成树的。在重构树中，我们在 $Kruskal$ 算法的进行过程中，把最小生成树的边权改为点权，原树的节点个数变为 $2\times n-1$ 个。

$Kruskal$ 重构树的性质

$1.$ 根据构造的过程，实际上重构树是一个二叉堆。
$2.$ 原树两点之间的边权最大值是重构树上两点 $lca$ 的权值。
$3.$ 重构树中代表原树中的点的节点都是叶子节点，其余节点都代表一条边的边权。
$4.$ 由于新点的创建顺序与原来生成树上边权的大小有关，可以发现，从每个点到根节点上除叶子结点外按顺序访问到的点的点权是单调的。

构造 $Kruskal$ 重构树

首先我们对边进行排序，然后用并查集辅助加边，每新建一条边时：

• 新建一个节点 $index$ $($编号从 $n+1$ 开始$)$
• 将原有两节点所在的集合改为 $index$，也就是并查集合并
• 将 $index$ 向原节点连边
• 新建节点 $index$ 的点权是当前边的边权

看代码就好理解了。

inline void rebuild(){
   
	rep(i,1,n<<1) fa[i] = i; //注意，有2*n-1个点
	sort(a+1,a+m+1);
	idx = n; //新节点的编号从 n+1 开始
	rep(i,1,m){
   
		int x = a[i].x,y = a[i].y; //这个就是原树的节点
		int fx = find(x),fy = 
1
2
3
4
5
6
7
8