【 C++ 】AVL树

目录

1、底层结构

2、AVL树的概念

3、AVL树节点的定义

4、基本框架

5、AVL树的插入

6、AVL树的旋转

        左单旋

        右单旋

        左右双旋

        右左双旋

7、AVL树的验证

8、AVL树的查找

9、AVL树的删除（了解）

10、AVL树的性能

11、源码链接

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1、底层结构

前面对map、multimap、set、multiset进行了简单的介绍，这几个容器有个共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

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2、AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

1. 它的左右子树都是AVL树
2. 任何一颗左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

• 0代表左右高度相等
• 1代表右子树高1
• -1代表左子树高1

下面给出一幅图来判断是否为AVL树：

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的（相对平衡），它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
O(logN)，搜索时间复杂度O(logN)。

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3、AVL树节点的定义

这里我们实现的AVL树为KV模型，自然节点的模板参数有两个，并且节点定义为三叉连结构（左孩子，右孩子，父亲），在二叉链表的基础上加了一个指向父结点的指针域，使得即便于查找孩子结点，又便于查找父结点。接着还需要创建一个变量_bf作为平衡因子（右子树 - 左子树的高度差）。最后写一个构造函数初始化变量即可。

//节点类
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	//存储的键值对
	pair _kv;
	//三叉连结构
	AVLTreeNode* _left;//左孩子
	AVLTreeNode* _right;//右孩子
	AVLTreeNode* _parent;//父亲
	//平衡因子_bf
	int _bf;//右子树 - 左子树的高度差
	//构造函数
	AVLTreeNode(const pair& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _bf(0)
	{}
};

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4、基本框架

此部分内容为AVL树的类，主要作用是来完成后续的插入旋转删除……操作：

//AVL树的类
template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode Node;
public:
    //……
private:
	Node* _root;
};

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5、AVL树的插入

插入主要分为这几大步骤：

• 1、一开始为空树，直接new新节点
• 2、一开始非空树，寻找插入的合适位置
• 3、找到插入的合适位置后，进行父亲与孩子的双向链接
• 4、更新新插入的节点祖先的平衡因子
• 5、针对不合规的平衡因子进行旋转调整

接下来对其进行逐个分析：

• 1、一开始为空树，直接new新节点：

因为树为空的，所以直接new一个新插入的节点，将其作为根_root即可，接着更新平衡因子_bf为0，最后返回true。

• 2、一开始非空树，寻找插入的合适位置：

这里和二叉搜索树的寻找合适的插入位置的思想一样，都要遵循以下几步：

1. 插入的值 > 节点的值，更新到右子树查找
2. 插入的值 < 节点的值，更新到左子树查找
3. 插入的值 = 节点的值，数据冗余插入失败，返回false

当循环结束的时候，就说明已经找到插入的合适位置，即可进行下一步链接。

• 3、找到插入的合适位置后，进行父亲与孩子的双向链接：

注意这里节点的构成为三叉链，因此最后链接后端孩子和父亲是双向链接，具体操作如下：

1. 插入的值 > 父亲的值，把插入的值链接在父亲的右边
2. 插入的值 < 父亲的值，把插入的值链接在父亲的左边
3. 因为是三叉连，插入后记得双向链接（孩子链接父亲）

走到这，说明节点已经插入完毕，但是接下来就要更新平衡因子了

• 4、更新新插入的节点祖先的平衡因子：

当我们插入新节点后，子树的高度可能会发生变化，针对这一变化，我们给出以下要求：

1. 子树的高度变了，就要继续往上更新
2. 子树的高度不变，则更新完成
3. 子树违反平衡规则（平衡因子的绝对值 >= 2），则停止更新，需要旋转子树进行调整

具体的更新规则如下：

1. 新增结点在parent的右边，parent的平衡因子++
2. 新增结点在parent的左边，parent的平衡因子 --

每更新完一个节点的平衡因子后，都要进行如下判断：

1. 如果parent的平衡因子等于-1或者1（说明原先是0，左右登高，插入节点后使左子树或右子树增高了）。表明还需要继续往上更新平衡因子。
2. 如果parent的平衡因子等于0（说明原先是1或-1，一高一低，插入节点后填上了矮的那一方）表明无需更新平衡因子了。
3. 如果parent的平衡因子等于-2或者2（说明原先是1或-1，一高一低，插入节点后填上了高的那一方），表明此时以parent结点为根结点的子树已经不平衡了，需要进行旋转处理。

图示如下：

• 5、针对不合规的平衡因子进行旋转调整：

当父亲parent的平衡因子为2或-2时，就要进行旋转调整了，而又要分为以下4类进行旋转：

1. 当parent的平衡因子为2，cur的平衡因子为1时，进行左单旋。
2. 当parent的平衡因子为-2，cur的平衡因子为-1时，进行右单旋
3. 当parent的平衡因子为-2，cur的平衡因子为1时，进行左右双旋。
4. 当parent的平衡因子为2，cur的平衡因子为-1时，进行右左双旋。

代码如下：

//Insert插入
bool Insert(const pair& kv)
{
	//1、一开始为空树，直接new新节点
	if (_root == nullptr)
	{
		//如果_root一开始为空树，直接new一个kv的节点，更新_root和_bf
		_root = new Node(kv);
		_root->_bf = 0;
		return true;
	}
	//2、寻找插入的合适位置
	Node* cur = _root;//记录插入的位置
	Node* parent = nullptr;//保存parent为cur的父亲
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			//插入的值 > 节点的值
			parent = cur;
			cur = cur->_right;//更新到右子树查找
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			//插入的值 < 节点的值
			parent = cur;
			cur = cur->_left;//更新到左子树查找
		}
		else
		{
			//插入的值 = 节点的值，数据冗余插入失败，返回false
			return false;
		}
	}
	//3、找到了插入的位置，进行父亲与插入节点的链接
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		//插入的值 > 父亲的值，链接在父亲的右边
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		//插入的值 < 父亲的值，链接在父亲的左边
		parent->_left = cur;
	}
	//因为是三叉连，插入后记得双向链接（孩子链接父亲）
	cur->_parent = parent;
	//4、更新新插入节点的祖先的平衡因子
	while (parent)//最远要更新到根
	{
		if (cur == parent->_right)
		{
			parent->_bf++;//新增结点在parent的右边，parent的平衡因子++
		}
		else
		{
			parent->_bf--;//新增结点在parent的左边，parent的平衡因子 --
		}
		//判断是否继续更新？
		if (parent->_bf == 0)// 1 or -1 -> 0 填上了矮的那一方
		{
			//1 or -1 -》 0 填上了矮的那一方，此时正好，无需更新
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			//0 -》 1或-1  此时说明插入节点导致一边变高了，继续更新祖先
			cur = cur->_parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			//1 or -1 -》2或-2 插入节点导致本来高的一边又变更高了
			//此时子树不平衡，需要进行旋转
			if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent);//右边高，左单旋
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateR(parent);//左边高，右单旋
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateLR(parent);//左右双旋
			}
			else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
			{
				RotateRL(parent);//右左双旋
			}
			break;
		}
		else
		{
			//插入之前AVL树就存在不平衡树，|平衡因子| >= 2的节点
			//实际上根据前面的判断不可能走到这一步，不过这里其实是为了检测先前的插入是否存在问题
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

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6、AVL树的旋转

AVL树的旋转分为4种：

1. 左单旋
2. 右单旋
3. 左右双旋
4. 右左双旋

AVL树的旋转要遵循下面两个原则：

• 1、保持搜索树的规则
• 2、子树变平衡

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左单旋

• 条件：新节点插入较高右子树的右侧

图示：

鉴于左单旋的情况非常多，这里我们画一张抽象图来演示：

这里的长方形条（a、b、c）表示的是子树，h为子树的高度，而30和60为实打实的节点。上述左单旋操作主要是完成了四件事：

1. 让subRL变成parent的右子树，更新subRL的父亲为parent
2. 让subR变成根节点
3. 让parent变成subR的左子树，更新parent的父亲为subR
4. 更新平衡因子

注意：

1. parent可能为整棵树的一个子树，则需要链接parent的父亲和subR。
2. subRL可能为空，但是更新subRL的父亲为parent是建立在subRL不为空的前提下完成的。

解释为何上述左单旋的可行性：

• 首先，根据底层二叉搜索树的结构：b节点的值肯定是在30~60之间的，b去做30的右子树没有任何问题，且这里把60挪到根部，随即把30作为60的右子树，这样整体的变化就像是一个左旋一样，而且也满足二叉搜索树的性质且均平衡。

代码如下：

void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	Node* ppNode = parent->_parent;//提前保持parent的父亲
	//1、建立parent和subRL之间的关系
	parent->_right = subRL;
	if (subRL)//防止subRL为空
	{
		subRL->_parent = parent;
	}
	//2、建立subR和parent之间的关系
	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;
	//3、建立ppNode和subR之间的关系
	if (parent == _root)
	{
		_root = subR;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parent == ppNode->_left)
		{
			ppNode->_left = subR;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subR;
		}
		subR->_parent = ppNode;//三叉链双向链接关系
	}
	//4、更新平衡因子
	subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

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右单旋

• 条件：新节点插入较高左子树的左侧

图示：

同样这里的长方形条（a、b、c）表示的是子树，h为子树的高度，而30和60为实打实的节点。上述左单旋操作主要是完成了四件事：

1. 让subLR变成parent的左子树，更新subLR的父亲为parent
2. 让subL变成根节点
3. 让parent变成subL的右子树，更新parent的父亲为subL
4. 更新平衡因子

注意：

1. parent可能为整棵树的一个子树，则需要链接parent的父亲和subL。
2. subLR可能为空，但是更新subLR的父亲为parent是建立在subLR不为空的前提下完成的。

代码如下：

//2、右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	Node* ppNode = parent->_parent;
	//1、建立parent和subLR之间的关系
	parent->_left = subLR;
	if (subLR)
	{
		subLR->_parent = parent;
	}
	//2、建立subL和parent之间的关系
	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;
	//3、建立ppNode和subL的关系
	if (parent == _root)
	{
		_root = subL;
		_root->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parent == ppNode->_left)
		{
			ppNode->_left = subL;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subL;
		}
		subL->_parent = ppNode;//三叉链双向关系
	}
	//4、更新平衡因子
	subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

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左右双旋

• 条件：新节点插入较高左子树的右侧

接下来图示解析左右双旋的具体解法。

• 1、插入新节点：

此类模型既不满足左单旋的条件也不满足右单旋的条件，但是我们可以将其组合起来，即左右双旋（先左单旋，再右单旋）的办法重新建立平衡。接下来执行下一步左单旋：

• 2、以节点30（subL）为旋转点左单旋：

此时再观察这幅图，这部就是一个妥妥的右单旋模型吗，把60的左子树看成一个整体，此时新插入的节点即插入较高左子树的左侧，刚好符合右单旋的性质，接下来即可进行右单旋：

• 3、以节点90（parent）为旋转点进行右单旋：

此时左右双旋已经完成，最后一步为更新平衡因子，但是更新平衡因子又分如下三类：

• 1、当subLR原始平衡因子是-1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为1、0、0。

• 2、当subLR原始平衡因子是1时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、-1、0。

• 3、当subLR原始平衡因子是0时，左右双旋后parent、subL、subLR的平衡因子分别更新为0、0、0。  

这里可以看出唯有subLR平衡因子为0的情况下在进行左右旋转后，三个节点的平衡因子都要更新为0。

• 代码如下：

//3、左右双旋
void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;//提前记录subLR的平衡因子
	//1、以subL为根传入左单旋
	RotateL(subL);
	//2、以parent为根传入右单旋
	RotateR(parent);
	//3、重新更新平衡因子
	if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 1;
		subL->_bf = 0;
		subLR->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);//此时说明旋转前就有问题，检查
	}
}

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右左双旋

• 条件：新节点插入较高右子树的左侧

接下来图示解析左右双旋的具体解法。

• 1、插入新节点：

注意这里的新节点插在了较高右子树的左侧，不能用上文的单旋转以及左右旋转，相反而应使用右左旋转（先右单旋，再左单旋）来解决，接下来执行下一步右单旋：

• 2、以节点90（subR）为旋转点右单旋：

此时再观察这幅图，这部就是一个妥妥的左单旋模型吗，把60的右子树看成一个整体，此时新插入的节点即插入较高右子树的右侧，刚好符合左单旋的性质，接下来即可进行左单旋：

• 3、以节点30（parent）为旋转点左单旋：

此时左右双旋已经完成，最后一步为更新平衡因子，但是更新平衡因子又分如下三类：

• 1、当subRL原始平衡因子是-1时，右左双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为0、1、0。

• 2、当subRL原始平衡因子是1时，右左双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为-1、0、0。

• 3、当subRL原始平衡因子是0时，右左双旋后parent、subR、subRL的平衡因子分别更新为0、0、0。 

这里可以看出唯有subRL平衡因子为0的情况下在进行左右旋转后，三个节点的平衡因子都要更新为0。

• 代码如下：

//4、右左双旋
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;//提前记录subLR的平衡因子
	//1、以subL为根传入左单旋
	RotateR(subR);
	//2、以parent为根传入右单旋
	RotateL(parent);
	//3、重新更新平衡因子
	if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		parent->_bf = -1;
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);//此时说明旋转前就有问题，检查
	}
}

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7、AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，就是看它是否为二叉搜索树，以及是否为一颗平衡树。接下来分别讨论：

• 1、验证其为二叉搜索树：

这里我们只需要进行中序遍历看看结果是否可得到一个有序的序列，如果可以则证明是二叉搜索树，而中序遍历的实现非常简单，先前的二叉搜索树的实现已然完成过，这里直接给出代码：

//中序遍历的子树
void _InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return;
 
	_InOrder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << " ";
	_InOrder(root->_right);
}
//中序遍历
void InOrder()
{
	_InOrder(_root);
	cout << endl;
}

检测是否为二叉搜索树的代码实现后，接下来开始验证是否为平衡树。

• 2、验证其为平衡树：

规则如下：（递归的思想）

1. 空树也是平衡树，一开始就要判断
2. 封装一个专门计算高度的函数（递归计算高度）后续用来计算高度差（平衡因子diff）
3. 如过diff不等于root的平衡因子（root->_bf），或root平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
4. 继续递归到子树&&右树，直至结束

代码如下：

//验证一棵树是否为平衡树
bool IsBalanceTree()
{
	return _IsBalanceTree(_root);
}
//判读是否平衡的子树
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
	//空树也是AVL树
	if (nullptr == root)
		return true;
	//计算root节点的平衡因子diff：即root左右子树的高度差
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	int diff = rightHeight - leftHeight;
	//如果计算出的平衡因子与root的平衡因子不相等，或root平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
	if ((abs(diff) > 1))
	{
		cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
		return false;
	}
	if (diff != root->_bf)
	{
		cout << root->_kv.first << "节点平衡因子与root的平衡因子不等，不符合实际" << endl;
		return false;
	}
	//继续递归检测，直到结束
	return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}
//求高度的子树
int _Height(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
		return 0;
	int lh = _Height(root->_left);
	int rh = _Height(root->_right);
	return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}

综合上述两大步骤的操作即可对一棵树充分的验证是否为AVL树。

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8、AVL树的查找

Find查找函数的思路很简单，定义cur指针从根部开始按如下规则遍历：

1. 若key值小于当前结点的值，则应该在该结点的左子树当中进行查找。
2. 若key值大于当前结点的值，则应该在该结点的右子树当中进行查找。
3. 若key值等于当前结点的值，则查找成功，返回true。
4. 若遍历一圈cur走到nullptr了说明没有此结点，返回false

//Find查找
bool Find(const K& key)
{
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			cur = cur->_right;//若key值大于当前结点的值，则应该在该结点的右子树当中进行查找。
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			cur = cur->_left;//若key值小于当前结点的值，则应该在该结点的左子树当中进行查找。
		}
		else
		{
			return true;//若key值等于当前结点的值，则查找成功，返回true。
		}
	}
	return false;//遍历一圈没找到返回false
}

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9、AVL树的删除（了解）

因为AVL树也是二叉搜索树，主要是三个大思路：

1. 按二叉搜索树的规则删除
2. 更新平衡因子
3. 出现不平衡，需要旋转调整

只不过与搜索二叉树的删除不同的是，删除节点后的平衡因子需要不断更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。具体这里就不再实现了，因为着实有点复杂。不过《算法导论》或《数据结构-用面向对象方法与C++描述》殷人昆版这两本书上是有详细的讲解的哈。

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10、AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即O(logN)。但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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11、源码链接

链接直达：AVL树的模拟实现完整版