【动态规划】leetcode 509. 斐波那契数

509. 斐波那契数

题目描述

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：

F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1

给定 n ，请计算 F(n) 。

示例1：

输入： n = 2
输出： 1
解释： F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1

示例2：

输入： n = 3
输出： 2
解释： F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2

示例3：

输入： n = 4
输出： 3
解释： F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3

提示

• $0<=n<=30$

方法：动态规划

解题思路

1. 确定 dp 数组以及下标的含义
   dp[i] 的定义为：第 i 个斐波那契数的值
2. 确定递推公式
   状态转移方程：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
3. dp 数组如何初始化
   dp[0] = 0, dp[1] = 1
4. 确定遍历顺序
   从递归公式 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; 中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2] 的，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的。
5. 举例推导 dp 数组
   按照这个递推公式 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当 n 为 10 的时候，dp 数组应该是如下的数列：
   0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

代码

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n == 0)  return 0;
        int dp[n + 1];
        dp[0] = 0, dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++)
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        return dp[n];
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。