证明：
∣ a 2 a b b 2 2 a a + b 2 b 1 1 1 ∣ = ( a − b ) 3 |a2abb22aa+b2b111| = (a-b)^3 a22a1aba+b1b22b1 =(a−b)3
∣ a 2 a b b 2 2 a a + b 2 b 1 1 1 ∣ = r 1 ↔ r 3 − ∣ 1 1 1 2 a a + b 2 b a 2 a b b 2 ∣ = r 2 − 2 a r 1 r 3 − a 2 r 1 − ∣ 1 1 1 0 b − a 2 b − 2 a 0 a b − a 2 b 2 − a 2 ∣ = r 2 ÷ ( b − a ) r 3 ÷ ( b − a ) − ( b − a ) 2 ∣ 1 1 1 0 1 2 0 a b + a ∣ = r 3 − a r 2 − ( b − a ) 2 ∣ 1 1 1 0 1 2 0 0 b − a ∣ = − ( b − a ) 3 = ( a − b ) 3 \begin{align*} \begin{vmatrix} a^2 & ab & b^2 \\ 2a & a+b & 2b \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} & \xlongequal{r_1 \leftrightarrow r_3} - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2a & a+b & 2b \\ a^2 & ab & b^2 \end{vmatrix} \xlongequal{ \begin{align*} r_2 - 2a r_1 \\ r_3 - a^2 r_1 \end{align*} } - \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & b-a & 2b-2a \\ 0 & ab-a^2 & b^2-a^2 \end{vmatrix} \\ & \xlongequal{ \begin{align*} r_2 \div (b-a) \\ r_3 \div (b-a) \end{align*} } - (b-a)^2 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & a & b+a \end{vmatrix} \xlongequal{r_3 - a r_2} - (b-a)^2 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & b-a \end{vmatrix} \\ & = -(b-a)^3 = (a-b)^3 \end{align*} a22a1aba+b1b22b1 r1↔r3− 12aa21a+bab12bb2 r2−2ar1r3−a2r1− 1001b−aab−a212b−2ab2−a2 r2÷(b−a)r3÷(b−a)−(b−a)2 10011a12b+a r3−ar2−(b−a)2 10011012b−a =−(b−a)3=(a−b)3
得证。